Sean $a,b,c\not= 0$ y $x,y,z\in\mathbb{R}^+$ tales que $x+y+z=3$. Demuestre que \[\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\geq\frac{x}{1+a^2}+\frac{y}{1+b^2}+\frac{z}{1+c^2}\]

Se da una figura plana de área $A > n$, donde $n$ es un entero positivo. Demuestre que esta figura se puede colocar en un plano cartesiano de modo que cubra al menos $n+1$ puntos con coordenadas enteras.

¿Existe un círculo y un conjunto infinito de puntos en él tal que la distancia entre dos puntos cualesquiera sea racional?

Para un entero positivo $n$ , sea $\varphi(n)$ y $d(n)$ denotan el valor de la función phi de Euler en $n$ y el número de divisores positivos de $n$ , respectivamente. Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\varphi(n)$ y $d(n)$ son ambos cuadrados perfectos.

Determine todos los pares de enteros positivos $(m, n)$ para los cuales existe una función biyectiva \[f : \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n\] tal que los vectores $f(\mathbf{v}) + \mathbf{v}$ , cuando $\mathbf{v}$ recorre todo $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ , son distintos por pares. (Para cualquier entero $a$ y $b$ , los vectores $[a, b], [a + m, b]$ y $[a, b + n]$ se consideran iguales.)

En el triángulo $ABC$ con circuncírculo $\Gamma$ , el incírculo $\omega$ toca los lados $BC, CA$ , y $AB$ en $D, E$ , y $F$ , respectivamente. La línea que pasa por $D$ perpendicular a $EF$ se encuentra con $\omega$ en $K\neq D$ . La línea $AK$ se encuentra con $\Gamma$ en $L\neq A$ . Los rayos $KI$ y $IL$ se encuentran con el circuncírculo del triángulo $BIC$ en $Q\neq I$ y $P\neq I$ , respectivamente. Los circuncírculos de los triángulos $KFB$ y $KEC$ se encuentran con $EF$ en $R\neq F$ y $S\neq E$ , respectivamente. Pruebe que $PQRS$ es cíclico.

Para un entero positivo $n$ , sea $\varphi(n)$ y $d(n)$ denotan el valor de la función phi de Euler en $n$ y el número de divisores positivos de $n$ , respectivamente. Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\varphi(n)$ y $d(n)$ son ambos cuadrados perfectos.

La circunferencia inscrita de un triángulo escaleno $ABC$ toca los lados $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$, respectivamente. Los triángulos $APE$ y $AQF$ se construyen fuera del triángulo de modo que\n\[AP =PE, AQ=QF, \angle APE=\angle ACB,\text{ y }\angle AQF =\angle ABC.\]\nSea $M$ el punto medio de $BC$. Encuentre $\angle QMP$ en términos de los ángulos del triángulo $ABC$.

Una secuencia ternaria es una en la que todos sus términos pertenecen al conjunto $\{0, 1, 2\}$. Sea $w$ una secuencia ternaria de longitud $n$ $(a_1,\ldots,a_n)$. Demuestre que $w$ se puede extender hacia la izquierda y hacia la derecha a una secuencia ternaria de longitud $m=6n$\n\[(d_1,\ldots,d_m) = (b_1,\ldots,b_p,a_1,\ldots,a_n,c_1,\ldots,c_q), \quad p,q\geqslant 0,\]\nque no contenga ninguna subsecuencia palindrómica de longitud $t > 2n$. (Una secuencia se llama palindrómica si se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha. Una subsecuencia de longitud $t$ de $(d_1,\ldots,d_m)$ es una secuencia de la forma $(d_{i_1},\ldots,d_{i_t})$, donde $1\leqslant i_1<\cdots<i_t \leqslant m$. )

Determine el entero positivo más pequeño $k$ que satisface la siguiente condición:\nPara cualquier configuración de reinas de ajedrez en un tablero de ajedrez de $100 \times 100$, las reinas pueden ser coloreadas con uno de $k$ colores de manera que no haya dos reinas del mismo color que se ataquen entre sí.