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La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de julio de 2011, 7:05 a. m. • 21 Y Y por acegikmoqsuwy2000, Davi-8191, adityaguharoy, pog, centslordm, megarnie, ryusei, Adventure10, Mango247, ItsBesi, PikaPika999, H_Taken y otros 9 usuarios. Dado cualquier conjunto $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ de cuatro enteros positivos distintos, denotamos la suma $a_1 +a_2 +a_3 +a_4$ por $s_A$. Sea $n_A$ el número de pares $(i, j)$ con $1 \leq i < j \leq 4$ para los cuales $a_i +a_j$ divide a $s_A$. Encuentre todos los conjuntos $A$ de cuatro enteros positivos distintos que alcanzan el mayor valor posible de $n_A$. Propuesto por Fernando Campos, México Z K Y
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1999 Apmo 1999 P3
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 17 de mar. de 2006, 9:41 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Rounak_iitr Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos círculos que se cortan en $P$ y $Q$. La tangente común, más cercana a $P$, de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ toca a $\Gamma_1$ en $A$ y a $\Gamma_2$ en $B$. La tangente de $\Gamma_1$ en $P$ corta a $\Gamma_2$ en $C$, el cual es distinto de $P$, y la extensión de $AP$ corta a $BC$ en $R$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo $PQR$ es tangente a $BP$ y $BR$. Z K Y
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La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de julio de 2012, 5:20 PM • 18 Y Y por doxuanlong15052000, Davi-8191, anantmudgal09, Lam.DL.01, tenplusten, Stuart111, Adventure10, Mango247, ihatemath123, straight, Gandalf_Greyhame y otros 7 usuarios Determine todas las sucesiones $(x_1,x_2,\ldots,x_{2011})$ de enteros positivos, tales que para todo entero positivo $n$ existe un entero $a$ con \[\sum^{2011}_{j=1} j x^n_j = a^{n+1} + 1\] Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia Z K Y
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2017 Iranian Geometry Olympiad4Th Igo P5
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bgn 178 publicaciones bgn #1 h 15 de sep. de 2017, 1:43 a. m. • 4 Y Y por r0518, Adventure10, Mango247, Rounak_iitr Sean $X,Y$ dos puntos en el lado $BC$ del triángulo $ABC$ tales que $2XY=BC$ ($X$ está entre $B$ e $Y$). Sea $AA'$ el diámetro del circuncírculo del triángulo $AXY$. Sea $P$ el punto donde $AX$ se encuentra con la perpendicular desde $B$ a $BC$, y $Q$ el punto donde $AY$ se encuentra con la perpendicular desde $C$ a $BC$. Demuestre que la recta tangente desde $A'$ al circuncírculo del triángulo $AXY$ pasa por el circuncentro del triángulo $APQ$. Propuesto por Iman Maghsoudi Z K Y
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Elmo Shortlist P1
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a1267ab 231 publicaciones a1267ab #1 h 28 de junio de 2018, 3:34 PM • 3 Y Y por HWenslawski, Adventure10, Funcshun840 Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función biyectiva. ¿Existe siempre un número infinito de funciones $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $f(g(x))=g(f(x))$ para todo $x\in\mathbb{R}$? Propuesto por Daniel Liu Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por a1267ab, 28 de junio de 2018, 3:35 PM Z K Y
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2016 Iranian Geometry Olympiad 2016 P5
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 22 de julio de 2018, 6:59 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Rounak_iitr Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con las siguientes propiedades: $\angle ADC = 135^o$ y $\angle ADB - \angle ABD = 2\angle DAB = 4\angle CBD$ . Si $BC = \sqrt2 CD$ , demuestre que $AB = BC + AD$ . por Mahdi Etesami Fard Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 25 de febrero de 2024, 10:26 a. m. Z K Y
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Lithuania Juniors Geometry Problems From Lithuania Juniors Math Olympiad For Grades 7 8 P2002
La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 1 de dic. de 2021, 12:22 p. m. Y por Un trapecio isósceles está dividido por su diagonal en dos triángulos isósceles. Encuentre los ángulos del trapecio. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 1 de dic. de 2021, 1:32 p. m. Z K Y
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2008 International Zhautykov Olympiad 2008 P1
La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Erken 1363 publicaciones Erken #1 h 21 de enero de 2008, 12:50 AM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, farhad.fritl Los puntos $ K,L,M,N$ son respectivamente los puntos medios de los lados $ AB,BC,CD,DA$ en un cuadrilátero convexo $ ABCD$ . La recta $ KM$ corta a las diagonales $ AC$ y $ BD$ en los puntos $ P$ y $ Q$ , respectivamente. La recta $ LN$ corta a las diagonales $ AC$ y $ BD$ en los puntos $ R$ y $ S$ , respectivamente. Demuestre que si $ AP\cdot PC=BQ\cdot QD$ , entonces $ AR\cdot RC=BS\cdot SD$ . Z K Y
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La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. iandrei 138 publicaciones iandrei #1 h 28 de julio de 2003, 8:33 a. m. • 9 Y Y por Adventure10, jhu08, megarnie, Mango247, Mango247, EntropiaAwake, EntropiaAwake, EntropiaAwake, cubres Una matriz $ n \times n$ cuyas entradas provienen del conjunto $ S = \{1, 2, \ldots , 2n - 1\}$ se denomina matriz de plata si, para cada $ i = 1, 2, \ldots , n$ , la $i$-ésima fila y la $i$-ésima columna juntas contienen todos los elementos de $ S$ . Demuestre que: (a) no existe una matriz de plata para $ n = 1997$ ; (b) existen matrices de plata para infinitos valores de $ n$ . Z K Y
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2026 China National Olympiad P3
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. CG40 5 publicaciones CG40 #1 h 27 de nov. de 2025, 1:11 a. m. Y por Sea $n$ un entero positivo. Inicialmente hay $n$ tarjetas rojas y $n$ tarjetas azules. Se escribe un 0 en cada tarjeta roja y un 1 en cada tarjeta azul. Una operación consiste en elegir una tarjeta roja y una tarjeta azul, tales que el número en la tarjeta roja sea menor que el número en la tarjeta azul, y luego reemplazar los dos números por su media aritmética. Determine el menor $n$ tal que sea posible ejecutar un número finito de operaciones, de modo que la suma de los números en las tarjetas rojas sea mayor que $100$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por CG40, 27 de nov. de 2025, 1:30 a. m. Motivo: Cambiar un poco el título Z K Y
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