Se dan $50$ puntos en el plano, no tres de ellos pertenecientes a la misma línea. Cada uno de estos puntos se colorea usando uno de los cuatro colores dados. Demuestra que hay un color y al menos $130$ triángulos escalenos con vértices de ese color.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle{DAC}= \angle{BDC}= 36^\circ$, $\angle{CBD}= 18^\circ$ y $\angle{BAC}= 72^\circ$. Las diagonales se intersectan en el punto $P$. Determine la medida de $\angle{APD}$.

Sea $a$ un número real positivo tal que $a^{3}=6(a+1)$. Demuestra que la ecuación $x^{2}+ax+a^{2}-6=0$ no tiene soluciones reales.

Sea $m\ge 2$ un entero, $A$ un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos) y $B_1,B_2,...,B_m$ subconjuntos de $A$ . Suponga que, para todo $k=1,2,...,m$ , la suma de los elementos de $B_k$ es $m^k$ . Demuestre que $A$ contiene al menos $\dfrac{m}{2}$ elementos.

Dos ardillas, Bushy y Jumpy, han recolectado 2021 nueces para el invierno. Jumpy numera las nueces del 1 al 2021 y cava 2021 pequeños agujeros en un patrón circular en el suelo alrededor de su árbol favorito. A la mañana siguiente, Jumpy se da cuenta de que Bushy había colocado una nuez en cada agujero, pero no había prestado atención a la numeración. Descontento, Jumpy decide reordenar las nueces realizando una secuencia de 2021 movimientos. En el $k$ - ésimo movimiento, Jumpy intercambia las posiciones de las dos nueces adyacentes a la nuez $k$ . Demuestre que existe un valor de $k$ tal que, en el $k$ - ésimo movimiento, Jumpy intercambia algunas nueces $a$ y $b$ tales que $a<k<b$ .

Sea $\Gamma$ un círculo con centro $I$ , y $A B C D$ un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos $A B, B C, C D$ y $D A$ es tangente a $\Gamma$ . Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $A I C$ . La extensión de $B A$ más allá de $A$ se encuentra con $\Omega$ en $X$ , y la extensión de $B C$ más allá de $C$ se encuentra con $\Omega$ en $Z$ . Las extensiones de $A D$ y $C D$ más allá de $D$ se encuentran con $\Omega$ en $Y$ y $T$ , respectivamente. Demuestre que \[A D+D T+T X+X A=C D+D Y+Y Z+Z C.\]

Sea $D$ un punto interior del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > AC$ tal que $\angle DAB = \angle CAD.$ El punto $E$ en el segmento $AC$ satisface $\angle ADE =\angle BCD,$ el punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA =\angle DBC,$ y el punto $X$ en la línea $AC$ satisface $CX = BX.$ Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD,$ respectivamente. Demuestre que las rectas $BC, EF,$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

Demostrar que la desigualdad \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}\] se cumple para todos los números reales $x_1,\ldots x_n.$

Sea $n \geqslant 100$ un entero. Iván escribe los números $n, n+1, \ldots, 2 n$ cada uno en diferentes tarjetas. Luego baraja estas $n+1$ tarjetas y las divide en dos montones. Demuestre que al menos uno de los montones contiene dos tarjetas tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

En el triángulo $\triangle ABC$ tenemos $BC=a,CA=b,AB=c$ y $\angle B=4\angle A$. Demuestre que \[[ab^2c^3=(b^2-a^2-ac)((a^2-b^2)^2-a^2c^2)]]