La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 3 de septiembre de 2024, 12:21 PM Y por Demuestre que para cualquier punto $P$ interior al triángulo $ABC$, $$min \{ |PA|, |PB|,|PC|\} + |PA| + |PB| + |PC| < |AB| + |BC| + |CA|.$$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 3 de septiembre de 2024, 12:21 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 2 de sep. de 2024, 1:33 p. m. Y por En un triángulo $ABC$, sean $D$ (resp. $E, F$) los puntos de intersección en los lados $BC$ (resp. $CA, AB$) con las bisectrices provenientes de $A$ (resp. $B, C$). Sea $I$ también el punto de intersección de las tres bisectrices. Demuestre que si $$\frac{|AI|}{|ID|}=\frac{|BI|}{|IE|}=\frac{|CI|}{|IF|},$$ entonces el triángulo $ABC$ es equilátero. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 2 de sep. de 2024, 1:34 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 22 de julio de 2018, 6:59 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Rounak_iitr Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con las siguientes propiedades: $\angle ADC = 135^o$ y $\angle ADB - \angle ABD = 2\angle DAB = 4\angle CBD$ . Si $BC = \sqrt2 CD$ , demuestre que $AB = BC + AD$ . por Mahdi Etesami Fard Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 25 de febrero de 2024, 10:26 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 22 de julio de 2018, 6:51 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Suponga que $ABCD$ es un cuadrilátero convexo sin lados paralelos. Construya un paralelogramo sobre cada par de lados consecutivos. Demuestre que entre estos $4$ nuevos puntos, solo hay un punto dentro del cuadrilátero $ABCD$. por Morteza Saghafian Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 22 de julio de 2018, 6:52 a. m. Razón: error tipográfico Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Call-of-the-Night 5 publicaciones Call-of-the-Night #1 h 26 de nov. de 2025, 11:42 p. m. • 1 Y Y por Rounak_iitr Sea $n \ge 3$ un entero impar tal que $\gcd ( p - 1, n) = 1$ para todo divisor primo $p$ de $n$. Encuentre el número de $(a,b,c) \in \Bbb Z_n^3$ en términos de $n$ tales que $\gcd (a,b,c,n) = 1$ y exista una permutación $\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)$ de $\left\{1,2,\dots,n \right\}$ que satisfaga que $n \mid ax_{k + 2} + bx_{k + 1} + cx_k$ para $1 \le k \le n$, donde los índices se toman módulo $n$. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Call-of-the-Night, 10 de dic. de 2025, 12:19 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bgn 178 publicaciones bgn #1 h 15 de sep. de 2017, 5:14 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Cada lado del cuadrado $ABCD$ con longitud de lado $4$ está dividido en partes iguales por tres puntos. Elija uno de los tres puntos de cada lado y conecte los puntos consecutivamente para obtener un cuadrilátero. ¿Qué números pueden ser el área de este cuadrilátero? Escriba solo los números sin demostración. [asy] import graph; size(4.662701220158751cm); real labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */ pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ pen dotstyle = black; /* point style */ real xmin = -4.337693339683693, xmax = 2.323308403400238, ymin = -0.39518100382374105, ymax = 4.44811779880594; /* image dimensions */ pen yfyfyf = rgb(0.5607843137254902,0.5607843137254902,0.5607843137254902); pen sqsqsq = rgb(0.12549019607843137,0.12549019607843137,0.12549019607843137); filldraw((-3.,4.)--(1.,4.)--(1.,0.)--(-3.,0.)--cycle, white, linewidth(1.6)); filldraw((0.,4.)--(-3.,2.)--(-2.,0.)--(1.,1.)--cycle, yfyfyf, linewidth(2.) + sqsqsq); /* draw figures */ draw((-3.,4.)--(1.,4.), linewidth(1.6)); draw((1.,4.)--(1.,0.), linewidth(1.6)); draw((1.,0.)--(-3.,0.), linewidth(1.6)); draw((-3.,0.)--(-3.,4.), linewidth(1.6)); draw((0.,4.)--(-3.,2.), linewidth(2.) + sqsqsq); draw((-3.,2.)--(-2.,0.), linewidth(2.) + sqsqsq); draw((-2.,0.)--(1.,1.), linewidth(2.) + sqsqsq); draw((1.,1.)--(0.,4.), linewidth(2.) + sqsqsq); label("$A$",(-3.434705427329005,4.459844914550807),SE*labelscalefactor,fontsize(14)); label("$B$",(1.056779902954702,4.424663567316209),SE*labelscalefactor,fontsize(14)); label("$C$",(1.0450527872098359,0.07390362597090126),SE*labelscalefactor,fontsize(14)); label("$D$",(-3.551976584777666,0.12081208895036549),SE*labelscalefactor,fontsize(14)); /* dots and labels */ dot((-2.,4.),linewidth(4.pt) + dotstyle); dot((-1.,4.),linewidth(4.pt) + dotstyle); dot((0.,4.),linewidth(4.pt) + dotstyle); dot((1.,3.),linewidth(4.pt) + dotstyle); dot((1.,2.),linewidth(4.pt) + dotstyle); dot((1.,1.),linewidth(4.pt) + dotstyle); dot((0.,0.),linewidth(4.pt) + dotstyle); dot((-1.,0.),linewidth(4.pt) + dotstyle); dot((-3.,1.),linewidth(4.pt) + dotstyle); dot((-3.,2.),linewidth(4.pt) + dotstyle); dot((-3.,3.),linewidth(4.pt) + dotstyle); dot((-2.,0.),linewidth(4.pt) + dotstyle); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); /* end of picture */ [/asy] Propuesto por Hirad Aalipanah Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por bgn, 15 de sep. de 2017, 5:15 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 22 de julio de 2018, 6:49 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $ABC$ con $AC > AB$. Sea $X$ un punto en $AC$ y $Y$ un punto en el círculo $\omega$, tales que $CX = CY = AB$. (Los puntos $A$ y $Y$ se encuentran en lados diferentes de la recta $BC$). La recta $XY$ corta a $\omega$ por segunda vez en el punto $P$. Demuestre que $PB = PC$. por Iman Maghsoudi Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. MathMaxGreat 553 publicaciones MathMaxGreat #1 h 27 de nov. de 2025, 6:58 a. m. • 1 Y Y por john0512 Hay $30$ colores de cartas, con $70$ cartas de cada color. Inicialmente, se eligen $70$ cartas cualesquiera y se organizan de arriba hacia abajo en una pila. Una operación se define de la siguiente manera: de las $20$ cartas inferiores, elija una carta $X$ cuyo color no aparezca entre las $50$ cartas superiores; luego, de las $50$ cartas superiores, elija una carta $Y$ cuyo color aparezca al menos dos veces entre las $50$ cartas superiores; extraiga $X$ e insértela inmediatamente encima de $Y$. Repita las operaciones anteriores hasta que no se pueda seleccionar tal $X$. Demuestre que el número de operaciones que se pueden realizar es finito; para todas las situaciones iniciales y métodos de operación posibles, encuentre el número máximo posible de operaciones. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathematics2004 96 publicaciones mathematics2004 #1 h 26 de nov. de 2025, 11:07 a. m. • 1 Y Y por cubres Defina los subconjuntos de los números complejos $\mathbb{C}$ : \[ A = \{ z \in \mathbb{C} \mid z = re^{i\theta},\ r \ge 0,\ \theta \in [ 0, \pi/41] \}, \] \[ B = \{ z \in \mathbb{C} \mid z = x + iy,\ x, y \in \mathbb{R},\ |x - y| < 2025 \}, \] donde $i$ es la unidad imaginaria, y $re^{i\theta} = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ . Encuentre todos los polinomios $P(z)$ con coeficientes complejos tales que para todo $z \in A$ , se cumpla que $P(z) \in B$ . Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por mathematics2004, 28 de nov. de 2025, 5:42 a. m. Motivo: redacción original Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. CG40 5 publicaciones CG40 #1 h 27 de nov. de 2025, 1:18 a. m. Y por Determine todos los números reales $\lambda$ tales que existe $N>0$ que satisface la siguiente propiedad: Para cualquier entero $n\geq N$ y $n$ números reales no negativos $x_1,\cdots,x_n$ con suma $1$, se cumple la siguiente desigualdad: $$\left(\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j\right)^2\leq\lambda\sum_{1\leq i<j<k\leq n}x_ix_jx_k+\frac{1}{n}\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^2.$$ Haga clic para revelar el texto oculto De hecho, uno puede derivar el $\lambda$ óptimo para cualquier $n$ fijo. Intente reescribir la desigualdad en términos de $S_k=\sum_{i=1}^{n}x_i^k,k=1,2,3$. Z K Y