Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB<AC$ . Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz perpendicular del lado $BC$ con el lado $AC$ . Sea $P$ un punto en el arco más corto $AC$ del circuncírculo del triángulo $ABC$ tal que $DP \parallel BC$ . Finalmente, sea $M$ el punto medio del lado $AB$ . Demuestre que $\angle APD=\angle MPB$ .

Demuestre que todo entero de $1$ a $2019$ se puede representar como una expresión aritmética que consta de hasta $17$ símbolos $2$ y un número arbitrario de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y paréntesis. Los $2$ 's no se pueden usar para ninguna otra operación, por ejemplo, para formar números de varios dígitos (como $222$ ) o potencias (como $2^2$ ) . Ejemplos válidos: $$\left((2\times 2+2)\times 2-\frac{2}{2}\right)\times 2=22 \;\;, \;\; (2\times2\times 2-2)\times \left(2\times 2 +\frac{2+2+2}{2}\right)=42$$

Hay $n$ niños y $n$ niñas en una clase escolar, donde $n$ es un entero positivo. Las alturas de todos los niños en esta clase son distintas. Cada niña determina el número de niños que son más altos que ella, resta el número de niñas que son más altas que ella, y escribe el resultado en un pedazo de papel. Cada niño determina el número de niñas que son más bajas que él, resta el número de niños que son más bajos que él, y escribe el resultado en un pedazo de papel. Demuestre que los números escritos por las niñas son los mismos que los números escritos por los niños (hasta una permutación).

Sea $\alpha$ un número real. Determine todos los polinomios $P$ con coeficientes reales tales que $$P(2x+\alpha)\leq (x^{20}+x^{19})P(x)$$ se cumple para todos los números reales $x$ .

Determine los valores posibles más pequeño y más grande de la expresión $$\left( \frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\right)\left( \frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\right)$$ siempre que $a,b$ y $c$ sean números reales no negativos que satisfacen $ab+bc+ca=1$ .

Determine el entero positivo más pequeño $n$ para el cual la siguiente afirmación es verdadera: De cualquier $n$ enteros consecutivos se puede seleccionar un conjunto no vacío de enteros consecutivos tal que su suma sea divisible por $2019$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>BC$ y circuncírculo $\omega$ . Suponga que $P$ es un punto en $\omega$ tal que $AP=AC$ y que $P$ es un punto interior en el arco más corto $BC$ de $\omega$ . Sea $Q$ el punto de intersección de las rectas $AP$ y $BC$ . Además, suponga que $R$ es un punto en $\omega$ tal que $QA=QR$ y $R$ es un punto interior del arco más corto $AC$ de $\omega$ . Finalmente, sea $S$ el punto de intersección de la recta $BC$ con la bisectriz perpendicular del lado $AB$ . Demuestre que los puntos $P, Q, R$ y $S$ son concíclicos.

Sea $n\geq 3$ un entero. Decimos que un vértice $A_i (1\leq i\leq n)$ de un polígono convexo $A_1A_2 \dots A_n$ es bohemio si su reflexión con respecto al punto medio de $A_{i-1}A_{i+1}$ (con $A_0=A_n$ y $A_1=A_{n+1}$ ) se encuentra dentro o en la frontera del polígono $A_1A_2\dots A_n$ . Determine el menor número posible de vértices bohemios que puede tener un $n$ - gono convexo (dependiendo de $n$ ) .

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera dos números reales $x,y$ se cumple que $$f(xf(y)+2y)=f(xy)+xf(y)+f(f(y)).$$

Demuestra que si $p$ es un número primo, entonces $7p+3^{p}-4$ no es un cuadrado perfecto.