Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ que satisfacen la siguiente condición: \[f(n+1)>f(f(n)), \quad \forall n \in \mathbb{N}.\]

Sea $k$ un entero positivo y $a_1,a_2,\dots$ una secuencia infinita de enteros positivos tal que \[a_ia_{i+1} \mid k-a_i^2\] para todos los enteros $i \ge 1$. Demuestre que existe un entero positivo $M$ tal que $a_n=a_{n+1}$ para todos los enteros $n \ge M$.

Defina pegar enteros positivos como escribir sus representaciones en base diez una tras otra e interpretar el resultado como la representación en base diez de un solo entero positivo. Encuentre todos los enteros positivos $k$ para los cuales existe un entero $N_k$ con la siguiente propiedad: para todo $n \ge N_k$, podemos pegar los números $1,2,\dots,n$ en algún orden para que el resultado sea un número divisible por $k$. \nRemarca . La representación en base diez de un entero positivo nunca comienza con cero. \nEjemplo . Pegar $15, 14, 7$ en este orden hace $15147$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$. Sean $I, J, K$ los incentros de los triángulos $ABC$, $ABM$, $ACM$, respectivamente. Sean $P, Q$ puntos en las líneas $MK$, $MJ$, respectivamente, tales que $\angle AJP=\angle ABC$ y $\angle AKQ=\angle BCA$. Sea $R$ la intersección de las líneas $CP$ y $BQ$. Demuestre que las líneas $IR$ y $BC$ son perpendiculares.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC=60^\circ$. Sea $D$ un punto en la línea $AC$ tal que $AB = AD$ y $A$ se encuentra entre $C$ y $D$. Suponga que hay dos puntos $E \ne F$ en la circunferencia circunscrita del triángulo $DBC$ tales que $AE = AF = BC$. Demuestre que la línea $EF$ pasa por el circuncentro de $ABC$.

Una secuencia finita $x_1,\dots,x_r$ de enteros positivos es un palíndromo si $x_i=x_{r+1-i}$ para todos los enteros $1 \le i \le r$. Sea $a_1,a_2,\dots$ una secuencia infinita de enteros positivos. Para un entero positivo $j \ge 2$, denote por $a[j]$ la subsecuencia finita $a_1,a_2,\dots,a_{j-1}$. Suponga que existe una secuencia infinita estrictamente creciente $b_1,b_2,\dots$ de enteros positivos tal que para cada entero positivo $n$, la subsecuencia $a[b_n]$ es un palíndromo y $b_{n+2} \le b_{n+1}+b_n$. Demuestre que existe un entero positivo $T$ tal que $a_i=a_{i+T}$ para cada entero positivo $i$.

Hay $2024$ matemáticos sentados en una fila al lado del río Tisza. Cada uno de ellos está trabajando en exactamente un tema de investigación, y si dos matemáticos están trabajando en el mismo tema, todos los que están sentados entre ellos también están trabajando en él. Marvin está tratando de averiguar para cada par de matemáticos si están trabajando en el mismo tema. Se le permite preguntar a cada matemático la siguiente pregunta: '¿Cuántos de estos 2024 matemáticos están trabajando en su tema?'. Hace las preguntas una por una, por lo que conoce todas las respuestas anteriores antes de hacer la siguiente. Determine el entero positivo más pequeño $k$ tal que Marvin siempre pueda lograr su objetivo con a lo sumo $k$ preguntas.

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[yf(x+1)=f(x+y-f(x))+f(x)f(f(y))\] para todos los $x,y \in \mathbb{R}$.

Considere dos sucesiones infinitas $a_0,a_1,a_2,\dots$ y $b_0,b_1,b_2,\dots$ de números reales tales que $a_0=0$, $b_0=0$ y \[a_{k+1}=b_k, \quad b_{k+1}=\frac{a_kb_k+a_k+1}{b_k+1}\] para cada entero $k \ge 0$. Demuestre que $a_{2024}+b_{2024} \ge 88$.

Determine todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que $P(n)$ es divisible por $\sigma(n)$ para todos los enteros positivos $n$. (Como es usual, $\sigma(n)$ denota la suma de todos los divisores positivos de $n$.)