La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NJAX 29 publicaciones NJAX #1 h 18 de mayo de 2024, 3:01 AM • 4 Y Y por dmusurmonov, GeoKing, XD012, mxsail Encuentre todos los enteros positivos $(r,s)$ tales que existe una sucesión no constante $a_n$ de enteros positivos tal que para todo $n=1,2,\dots$ \[ a_{n+2}= \left(1+\frac{{a_2}^r}{{a_1}^s} \right ) \left(1+\frac{{a_3}^r}{{a_2}^s} \right ) \dots \left(1+\frac{{a_{n+1}}^r}{{a_n}^s} \right ).\] Propuesto por Navid Safaei, Irán Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de nov. de 2005, 2:01 p. m. • 3 Y Y por ahmedosama, Adventure10, Mango247 En un triángulo acutángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta a $BC$ en $L$ y corta nuevamente al circuncírculo de $ABC$ en $N$. Desde $L$ se trazan perpendiculares a $AB$ y $AC$, con pies $K$ y $M$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen áreas iguales. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de nov. de 2005, 2:02 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales que satisfacen $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Demuestre que para todo entero $k\ge2$ existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$, no todos nulos, tales que $|a_i|\le k-1$ para todo $i$, y $|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\le{(k-1)\sqrt n\over k^n-1}$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NJAX 29 publicaciones NJAX #1 h 19 de mayo de 2024, 3:28 a. m. • 2 Y Y por XD012, mxsail Llamamos a un entero positivo $n\ge 4$ hermoso si existe alguna permutación $$\{x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}\}$$ de $\{1,2,\dots ,n-1\}$ tal que $\{x^1_1,\ x^2_2,\ \dots,x^{n-1}_{n-1}\}$ da todos los residuos $\{1,2,\dots, n-1\}$ módulo $n$. Demuestre que si $n$ es hermoso, entonces $n=2p,$ para algún número primo $p.$ Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por NJAX, 19 de mayo de 2024, 5:44 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NJAX 29 publicaciones NJAX #1 h 18 de mayo de 2024, 2:57 AM • 5 Y Y por dmusurmonov, navi_09220114, ItsBesi, buratinogigle, mxsail Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y $I$ su incentro. Un punto $D$ se encuentra en el segmento $AC$ tal que $AB=AD,$ y la recta $BI$ corta a $AC$ en $E.$ Suponga que la recta $CI$ corta a $BD$ en $F,$ y $G$ se encuentra en el segmento $DI$ tal que $FD=FG.$ Demuestre que las rectas $AG$ y $EF$ se cortan en el circuncírculo del triángulo $CEI.$ Propuesto por Avan Lim Zenn Ee, Malasia Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por NJAX, 18 de mayo de 2024, 7:37 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Akashnil 736 publicaciones Akashnil #1 h 22 de mayo de 2010, 11:57 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $ab+bc+ca\le 3abc$. Demuestre que \[\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}}+3\le \sqrt{2} (\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 16 de enero de 2026, 4:08 PM Y por Demuestre que existe un entero positivo $n$ con la siguiente propiedad: para todo entero $1 \le k \le n - 1$ existe un primo $p$ (que podría depender de $k$) tal que el coeficiente binomial ${n \choose k}$ es divisible por $p^{1000}$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 17 de enero de 2026, 3:25 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. cubres 478 publicaciones cubres #1 h 11 de enero de 2026, 2:12 PM Y por Los números reales $a, b$ y $c$ satisfacen las desigualdades $|a| \geqslant|b+c|,|b| \geqslant|c+a|$ y $|c| \geqslant|a+b|$. Demuestre que $a+b+c=0$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de enero de 2026, 1:11 PM Y por Un cuadrilátero $T$ con longitudes de lado $a, b, c$ y $d$ está inscrito en un círculo, y otro círculo está inscrito en $T$, como en la figura a continuación. Encuentre el área de $T$ (como una función de $a, b, c$ y $d$). https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/7/2/344cb893d5e3001b50e26fd117fc1470c055c7.png Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 11 de enero de 2026, 1:13 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. cubres 478 publicaciones cubres #1 h 11 de enero de 2026, 2:10 PM • 1 Y Y por Mathenthusiast1 Suponga que $a, b$ y $c$ son enteros tales que $a^2+b^2=c^2$ . Demuestre que el producto $a b c$ es divisible por $60$ . Z K Y