Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo. Elija un círculo $\omega$ que pase por $B$ y $C$ que interseca los segmentos $AB$ y $AC$ en los puntos interiores $D$ y $E$, respectivamente. Las líneas $BE$ y $CD$ se intersecan en $F$. Sea $G$ un punto en la circunferencia circunscrita de $ABF$ tal que $GB$ es tangente a $\omega$ y sea $H$ un punto en la circunferencia circunscrita de $ACF$ tal que $HC$ es tangente a $\omega$. Demuestre que existe un punto $T\neq A$, independiente de la elección de $\omega$, tal que la circunferencia circunscrita del triángulo $AGH$ pasa por $T$.

Hay una hoja rectangular de papel en una pizarra infinita. Marvin elige secretamente un $2024$ - gono convexo $P$ que se encuentra completamente en la hoja de papel. Tigerin quiere encontrar los vértices de $P$. En cada paso, Tigerin puede dibujar una línea $g$ en la pizarra que está completamente fuera de la hoja de papel, luego Marvin responde con la línea $h$ paralela a $g$ que es la más cercana a $g$ que pasa por al menos un vértice de $P$. Demuestre que existe un entero positivo $n$, independiente de la elección del polígono, tal que Tigerin siempre puede determinar los vértices de $P$ en a lo sumo $n$ pasos.

Sea $\mathbb{N}_0$ el conjunto de los enteros no negativos. Determine todos los enteros no negativos $k$ para los cuales existe una función $f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ tal que $f(2024) = k$ y $f(f(n)) \leq f(n+1) - f(n)$ para todos los enteros no negativos $n$.

Encuentra todos los enteros positivos $d$ para los cuales existen polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ con coeficientes reales tales que el grado de $P$ es igual a $d$ y $$P(x)^2+1=(x^2+1)Q(x)^2.$$

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de todos los enteros positivos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que $$x^2-y^2+2y(f(x)+f(y))$$ es un cuadrado de un entero para todos los enteros positivos $x$ e $y$.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $D, E$ y $F$ los puntos medios de los lados $BC, CA$ y $AB$, respectivamente. Sea $X\ne A$ la intersección de $AD$ con la circunferencia circunscrita de $ABC$. Sea $\Omega$ el círculo que pasa por $D$ y $X$, tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$. Sean $Y$ y $Z$ las intersecciones de la tangente a $\Omega$ en $D$ con las bisectrices perpendiculares de los segmentos $DE$ y $DF$, respectivamente. Sea $P$ la intersección de $YE$ y $ZF$ y sea $G$ el centroide de $ABC$. Demuestra que las tangentes en $B$ y $C$ a la circunferencia circunscrita de $ABC$ y la línea $PG$ son concurrentes.

Alice dibujó un $2021$ - gono regular en el plano. Bob luego etiquetó cada vértice del $2021$ - gono con un número real, de tal manera que las etiquetas de los vértices consecutivos difieren en como máximo $1$. Luego, para cada par de vértices no consecutivos cuyas etiquetas difieren en como máximo $1$, Alice dibujó una diagonal que los conecta. Sea $d$ el número de diagonales que dibujó Alice. Encuentra el valor mínimo posible que $d$ puede obtener.

Sea $n$ un entero positivo. Morgane ha coloreado los enteros $1,2,\ldots,n$. Cada uno de ellos está coloreado en exactamente un color. Resultó que para todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que $a<b$ y $a+b \leqslant n$, al menos dos de los enteros entre $a$, $b$ y $a+b$ son del mismo color. Demuestra que existe un color que se ha utilizado para al menos $2n/5$ enteros.

Sea $\ell$ un entero positivo. Decimos que un entero positivo $k$ es agradable si $k!+\ell$ es el cuadrado de un entero. Demuestra que para cada entero positivo $n \geqslant \ell$, el conjunto $\{1, 2, \ldots,n^2\}$ contiene como máximo $n^2-n +\ell$ enteros agradables.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $|AB|<|AC|$. Sean $X$ e $Y$ puntos en el arco menor ${BC}$ de la circunferencia circunscrita de $ABC$ tal que $|BX|=|XY|=|YC|$. Suponga que existe un punto $N$ en el segmento $\overline{AY}$ tal que $|AB|=|AN|=|NC|$. Demuestra que la línea $NC$ pasa por el punto medio del segmento $\overline{AX}$.