Decimos que una cuádrupla de números reales no negativos $(a,b,c,d)$ es balanceada si $$a+b+c+d=a^2+b^2+c^2+d^2.$$ Encuentra todos los números reales positivos $x$ tales que $$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\geq 0$$ para cada cuádrupla balanceada $(a,b,c,d)$.

Sea $A$ el conjunto de todos los polinomios $f(x)$ de orden $3$ con coeficientes enteros y coeficiente cúbico $1$, de modo que para cada $f(x)$ existe un número primo $p$ que no divide a $2004$ y un número $q$ que es coprimo con $p$ y $2004$, de modo que $f(p)=2004$ y $f(q)=0$. Demuestra que existe un subconjunto infinito $B\subset A$, de modo que las gráficas de funciones de los miembros de $B$ son idénticas excepto por traslaciones.

Sean $A_1,A_2,\ldots , A_n$ $(n\geq 3)$ conjuntos finitos de enteros positivos. Demuestra que\n\[ \displaystyle \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n |A_i|\right) + \frac{1}{{{n}\choose{3}}}\sum_{1\leq i < j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| \geq \frac{2}{{{n}\choose{2}}}\sum_{1\leq i < j \leq n}|A_i \cap A_j| \] se cumple, donde $|E|$ es la cardinalidad del conjunto $E$

Sean $k$ y $k'$ círculos concéntricos con centro $O$ y radio $R$ y $R'$ donde $R<R'$ se cumple. Una línea que pasa por $O$ interseca a $k$ en $A$ y a $k'$ en $B$ donde $O$ está entre $A$ y $B$. Otra línea que pasa por $O$ y es distinta de $AB$ interseca a $k$ en $E$ y a $k'$ en $F$ donde $E$ está entre $O$ y $F$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $OAE$ y $OBF$, el círculo con diámetro $EF$ y el círculo con diámetro $AB$ son concurrentes.

El profesor le dice a Peter el producto de dos enteros positivos y a Sam su suma. Al principio, ninguno de ellos conoce el número del otro. Uno de ellos dice: 'No puedes adivinar mi número'. Entonces el otro dice: 'Estás equivocado, el número es 136'. ¿Qué número les dijo el profesor respectivamente? Da razones para tu afirmación.

Suponga que cuatro personas A, B, C y D deciden jugar partidos de dobles de tenis. Primero podrían jugar el equipo A y B contra el equipo C y D. Luego A y C podrían jugar B y D. Finalmente A y D podrían jugar B y C. La ventaja de esta disposición es que se cumplen dos condiciones. (a) Cada jugador está en el mismo equipo que cada otro jugador exactamente una vez. (b) Cada jugador está en el equipo contrario a cada otro jugador exactamente dos veces. ¿Es posible organizar una colección de partidos de tenis que satisfagan ambas condiciones (a) y condición (b) en las siguientes circunstancias? (i) Hay cinco jugadores. (ii) Hay siete jugadores. (iii) Hay nueve jugadores.

Considere el triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $X$ un punto en el lado $BC$ , y $Y$ un punto en el lado $CA$ . El círculo $k_1$ con diámetro $AX$ corta a $AC$ nuevamente en $E'$ . El círculo $k_2$ con diámetro $BY$ corta a $BC$ nuevamente en $B'$ . (i) Sea $M$ el punto medio de $XY$ . Demuestre que $A'M = B'M$ . (ii) Suponga que $k_1$ y $k_2$ se encuentran en $P$ y $Q$ . Demuestre que el ortocentro de $ABC$ se encuentra en la línea $PQ$

Sea $x$ un número real que satisface $x^1 + x^{-1} = 3$. Demuestre que $x^n + x^{-n}$ es un entero positivo, luego demuestre que el entero positivo $x^{3^{1437}}+x^{3^{-1437}}$ es divisible por al menos $1439 \times 2^{1437}$ enteros positivos

Considere las secuencias $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ de enteros no negativos definidos seleccionando cualquier $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ (no todos 0) y para cada $n$ $\geq$ 3 permitiendo $a_n$ = | $a_{n-1}$ - $a_{n-3}$ | 1-En el caso particular que $a_0$ = 1 , $a_1$ = 3 y $a_2$ = 2, calcule el comienzo de la secuencia, listando $a_0$ , $a_1$ , $\cdots$ , $a_{19}$ , $a_{20}$ . 2-Demuestre que para cada secuencia, hay una constante $c$ tal que $a_i$ $\leq$ $c$ para todo $i$ $\geq$ 0. Note que la constante $c$ puede depender de los números $a_0$ , $a_1$ y $a_2$ 3-Demuestre que, para cada elección de $a_0$ , $a_1$ y $a_2$ , la secuencia resultante es eventualmente periódica. 4-Demuestre que, la longitud mínima p del período descrito en (3) es la misma para todos los valores iniciales permitidos $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ de la secuencia

Hallar la suma de las potencias quincuagésimas de todos los lados y diagonales de un $100$ - gono regular inscrito en una circunferencia de radio $R.$