En un plano se dan dos puntos distintos $A,B$ y dos líneas $a, b$ que pasan por $B$ y $A$ respectivamente $(a \ni B, b \ni A)$ tal que la línea $AB$ está igualmente inclinada a a y b. Encontrar el lugar geométrico de los puntos $M$ en el plano tal que el producto de las distancias de $M$ a $A$ y a es igual al producto de las distancias de $M$ a $B$ y $b$ (i.e., $MA \cdot MA' = MB \cdot MB'$ , donde $A'$ y $B'$ son los pies de las perpendiculares desde $M$ a $a$ y $b$ respectivamente).

Sea $ABC$ un triángulo no equilátero. Demostrar que existen dos puntos $P$ y $Q$ en el plano del triángulo, uno en el interior y otro en el exterior de la circunferencia circunscrita de $ABC$ , tales que las proyecciones ortogonales de cualquiera de estos dos puntos en los lados del triángulo son vértices de un triángulo equilátero.

Demostrar que para todo $x_1, x_2,\ldots , x_n \in \mathbb R$ se cumple la siguiente desigualdad: \[\sum_{n \geq i >j \geq 1} \cos^2(x_i - x_j ) \geq \frac{n(n-2)}{4}\]

Demostrar que cada partición del espacio de dimensión $3$ en tres subconjuntos disjuntos tiene la siguiente propiedad: Uno de estos subconjuntos contiene todas las distancias posibles; es decir, para cada $a \in \mathbb R^+$ , existen puntos $M$ y $N$ dentro de ese subconjunto tal que la distancia entre $M$ y $N$ es exactamente $a$.

Sea $d_n$ el último dígito distinto de cero de la representación decimal de $n!$. Demuestre que $d_n$ es aperiódica; es decir, no existen $T$ y $n_0$ tales que para todo $n \geq n_0, d_{n+T} = d_n.$

Sea $A$ uno de los dos puntos distintos de intersección de dos círculos coplanares desiguales $C_1$ y $C_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Una de las tangentes comunes a los círculos toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$ , mientras que la otra toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$ . Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$ . Demuestre que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$ .

Tres de las raíces de la ecuación $x^4 -px^3 +qx^2 -rx+s = 0$ son $\tan A, \tan B$ , y $\tan C$ , donde $A, B$ , y $C$ son ángulos de un triángulo. Determine la cuarta raíz como una función solo de $p, q, r$ , y $s.$

La altura desde un vértice de un tetraedro dado interseca la cara opuesta en su ortocentro. Demuestre que las cuatro alturas del tetraedro son concurrentes.

Sean $ a$, $ b$ y $ c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demuestre que \[ a^{2}b(a - b) + b^{2}c(b - c) + c^{2}a(c - a)\ge 0. \] Determine cuándo ocurre la igualdad.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyas diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en un punto $P$. Demuestre que $\frac{AP}{PC}=\frac{\cot \angle BAC + \cot \angle DAC}{\cot \angle BCA + \cot \angle DCA}$