La suma de todos los ángulos de las caras alrededor de todos los vértices excepto uno de un poliedro dado es $5160$. Encuentre la suma de todos los ángulos de las caras del poliedro.

Sea $n$ un entero positivo que tiene al menos dos factores primos diferentes. Demuestre que existe una permutación $a_1, a_2, \dots , a_n$ de los enteros $1, 2, \dots , n$ tal que $\sum_{k=1}^{n} k \cdot \cos \frac{2 \pi a_k}{n}=0$.

Se dibuja un círculo $\gamma$ y sea $AB$ un diámetro. El punto $C$ en $\gamma$ es el punto medio del segmento de línea $BD$. Los segmentos de línea $AC$ y $DO$, donde $O$ es el centro de $\gamma$, se intersecan en $P$. Demuestre que hay un punto $E$ en $AB$ tal que $P$ está en el círculo con diámetro $AE$.

Sean $a$ y $b$ enteros. ¿Es posible encontrar enteros $p$ y $q$ tales que los enteros $p+na$ y $q +nb$ no tengan un factor primo común sin importar cómo se elija el entero $n$?

Encuentra el mayor entero menor o igual a $\sum_{k=1}^{2^{1983}} k^{\frac{1}{1983} -1}.$

Resuelve la ecuación \[\tan^2(2x) + 2 \tan(2x) \cdot \tan(3x) -1 = 0.\]

En un examen, participan $3n$ estudiantes, que están ubicados en tres filas de $n$ estudiantes en cada una. Los estudiantes abandonan la sala de examen uno por uno. Si $N_1(t), N_2(t), N_3(t)$ denotan los números de estudiantes en la primera, segunda y tercera fila respectivamente en el tiempo $t$ , encuentra la probabilidad de que para cada t durante el examen, \[|N_i(t) - N_j(t)| < 2, i \neq j, i, j = 1, 2, \dots .\]

En el sistema de base $n^2 + 1$ encuentra un número $N$ con $n$ dígitos diferentes tal que: (i) $N$ es un múltiplo de $n$ . Sea $N = nN'.$ (ii) El número $N$ y $N'$ tienen el mismo número $n$ de dígitos diferentes en base $n^2 + 1$ , ninguno de ellos siendo cero. (iii) Si $s(C)$ denota el número en base $n^2 + 1$ obtenido al aplicar la permutación $s$ a los $n$ dígitos del número $C$ , entonces para cada permutación $s, s(N) = ns(N').$

Considera la expansión \[(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)^{496} = a_0 + a_1x + \cdots + a_{1984}x^{1984}.\] (a) Determina el máximo común divisor de los coeficientes $a_3, a_8, a_{13}, \ldots , a_{1983}.$ (b) Demuestra que $10^{340 }< a_{992} < 10^{347}.$

Para cada $a \in \mathbb N$ denote por $M(a)$ el número de elementos del conjunto \[ \{ b \in \mathbb N | a + b \text{ es un divisor de } ab \}.\] Encuentre $\max_{a\leq 1983} M(a).$