Encuentre todas las soluciones del siguiente sistema de $n$ ecuaciones en $n$ variables: \[\begin{array}{c}\ x_1|x_1| - (x_1 - a)|x_1 - a| = x_2|x_2|,x_2|x_2| - (x_2 - a)|x_2 - a| = x_3|x_3|,\ \vdots \ x_n|x_n| - (x_n - a)|x_n - a| = x_1|x_1|\end{array}\] donde $a$ es un número dado.

Sea $a \in \mathbb R$ y sean $z_1, z_2, \ldots, z_n$ números complejos de módulo $1$ que satisfacen la relación \[\sum_{k=1}^n z_k^3=4(a+(a-n)i)- 3 \sum_{k=1}^n \overline{z_k}\]\nPruebe que $a \in \{0, 1,\ldots, n \}$ y $z_k \in \{1, i \}$ para todo $k.$

Sea $(F_n)_{n\geq 1} $ la sucesión de Fibonacci $F_1 = F_2 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n (n \geq 1),$ y $P(x)$ el polinomio de grado $990$ que satisface \[ P(k) = F_k, \qquad \text{ para } k = 992, . . . , 1982.\n] Pruebe que $P(1983) = F_{1983} - 1.$

Decida si existe un conjunto $M$ de enteros positivos que satisfaga las siguientes condiciones: \n(i) Para cualquier número natural $m>1$ existen $a, b \in M$ tales que $a+b = m.$\n(ii) Si $a, b, c, d \in M$ , $a, b, c, d > 10$ y $a + b = c + d$ , entonces $a = c$ o $a = d.$

¿Es posible elegir $1983$ enteros positivos distintos, todos menores o iguales que $10^5$, ninguno de los cuales son términos consecutivos de una progresión aritmética?

Dados enteros positivos $k,m, n$ con $km \leq n$ y números reales no negativos $x_1, \ldots , x_k$, demuestre que \[n \left( \prod_{i=1}^k x_i^m -1 \right) \leq m \sum_{i=1}^k (x_i^n-1).\]

Demuestre que en cualquier paralelepípedo la suma de las longitudes de las aristas es menor o igual que el doble de la suma de las longitudes de las cuatro diagonales.

En un plano, se dan tres círculos $C_1, C_2, C_3$ que se intersectan por pares con centros $M_1,M_2,M_3$. Para $i = 1, 2, 3$, sea $A_i$ uno de los puntos de intersección de $C_j$ y $C_k \ (\{i, j, k \} = \{1, 2, 3 \})$. Demuestre que si $ \angle M_3A_1M_2 = \angle M_1A_2M_3 = \angle M_2A_3M_1 = \frac{\pi}{3}$ (ángulos dirigidos), entonces $M_1A_1, M_2A_2$ , y $M_3A_3$ son concurrentes.

Sea $f$ una función con valores reales definida en $I = (0,+\infty)$ y que no tiene ceros en $I$. Suponga que \[\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)}=+\infty.\] Para la secuencia $u_n = \ln \left| \frac{f(n+1)}{f(n)} \right|$ , demuestre que $u_n \to +\infty$ cuando $n \to +\infty.$

Sean dos vasos, numerados $1$ y $2$, que contienen una cantidad igual de líquido, leche en el vaso $1$ y café en el vaso $2$. Se hace lo siguiente: Tome una cuchara de mezcla del vaso $1$ y viértala en el vaso $2$, y luego tome la misma cuchara de la nueva mezcla del vaso $2$ y viértala de nuevo en el primer vaso. ¿Qué sucede después de que esta operación se repite $n$ veces, y qué pasa cuando $n$ tiende a infinito?