La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. XbenX 590 publicaciones XbenX #1 h 28 de ago. de 2019, 12:09 p. m. • 5 Y Y por bumjoooon, MathLuis, tiendung2006, Adventure10, ItsBesi Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera dos números reales $x,y$ se cumple $$f(xf(y)+2y)=f(xy)+xf(y)+f(f(y)).$$ Propuesto por Patrik Bak, Eslovaquia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por XbenX, 13 de sep. de 2019, 2:59 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. XbenX 590 publicaciones XbenX #1 h 29 de ago. de 2019, 3:03 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>BC$ y circunferencia circunscrita $\omega$. Suponga que $P$ es un punto en $\omega$ tal que $AP=AC$ y que $P$ es un punto interior en el arco menor $BC$ de $\omega$. Sea $Q$ el punto de intersección de las rectas $AP$ y $BC$. Además, suponga que $R$ es un punto en $\omega$ tal que $QA=QR$ y $R$ es un punto interior del arco menor $AC$ de $\omega$. Finalmente, sea $S$ el punto de intersección de la recta $BC$ con la mediatriz del lado $AB$. Demuestre que los puntos $P, Q, R$ y $S$ son concíclicos. Propuesto por Patrik Bak, Eslovaquia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por XbenX, 13 de sep. de 2019, 3:01 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. XbenX 590 publicaciones XbenX #1 h 29 de ago. de 2019, 3:15 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $n\geq 3$ un entero. Decimos que un vértice $A_i (1\leq i\leq n)$ de un polígono convexo $A_1A_2 \dots A_n$ es bohemio si su reflexión con respecto al punto medio de $A_{i-1}A_{i+1}$ (con $A_0=A_n$ y $A_1=A_{n+1}$) se encuentra dentro o en la frontera del polígono $A_1A_2\dots A_n$. Determine el menor número posible de vértices bohemios que puede tener un $n$-gono convexo (en función de $n$). Propuesto por Dominik Burek, Polonia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por XbenX, 13 de sep. de 2019, 3:00 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Tintarn 9106 publicaciones Tintarn #1 h 29 de mayo de 2024, 10:12 a. m. • 2 Y Y por ItsBesi, mxsail Sean $\alpha$ y $\beta$ números reales con $\beta \ne 0$. Determine todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[f(\alpha f(x)+f(y))=\beta x+f(y)\] se cumpla para todos los números reales $x$ e $y$. (Walther Janous) Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Tintarn, 29 de mayo de 2024, 12:06 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 16 de enero de 2026, 4:08 PM Y por Demuestre que existe un entero positivo $n$ con la siguiente propiedad: para todo entero $1 \le k \le n - 1$ existe un primo $p$ (que podría depender de $k$) tal que el coeficiente binomial ${n \choose k}$ es divisible por $p^{1000}$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 17 de enero de 2026, 3:25 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Akashnil 736 publicaciones Akashnil #1 h 22 de mayo de 2010, 11:57 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $ab+bc+ca\le 3abc$. Demuestre que \[\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}}+3\le \sqrt{2} (\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NJAX 29 publicaciones NJAX #1 h 19 de mayo de 2024, 3:28 a. m. • 2 Y Y por XD012, mxsail Llamamos a un entero positivo $n\ge 4$ hermoso si existe alguna permutación $$\{x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}\}$$ de $\{1,2,\dots ,n-1\}$ tal que $\{x^1_1,\ x^2_2,\ \dots,x^{n-1}_{n-1}\}$ da todos los residuos $\{1,2,\dots, n-1\}$ módulo $n$. Demuestre que si $n$ es hermoso, entonces $n=2p,$ para algún número primo $p.$ Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por NJAX, 19 de mayo de 2024, 5:44 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NJAX 29 publicaciones NJAX #1 h 19 de mayo de 2024, 3:23 a. m. • 1 Y Y por mxsail Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+}$ tales que para todos los enteros $a, b, c$ se cumple $$ af(bc)+bf(ac)+cf(ab)=(a+b+c)f(ab+bc+ac). $$ Nota. El conjunto $\mathbb{Z^+}$ se refiere al conjunto de los enteros positivos. Propuesto por Mojtaba Zare, Irán Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por NJAX, 19 de mayo de 2024, 3:29 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de enero de 2026, 1:11 PM Y por Un cuadrilátero $T$ con longitudes de lado $a, b, c$ y $d$ está inscrito en un círculo, y otro círculo está inscrito en $T$, como en la figura a continuación. Encuentre el área de $T$ (como una función de $a, b, c$ y $d$). https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/7/2/344cb893d5e3001b50e26fd117fc1470c055c7.png Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 11 de enero de 2026, 1:13 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. XbenX 590 publicaciones XbenX #1 h 30 de agosto de 2019, 8:20 a. m. • 4 Y Y por Instance, HWenslawski, Adventure10, Rounak_iitr Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB<AC$. Sea $D$ el punto de intersección de la mediatriz del lado $BC$ con el lado $AC$. Sea $P$ un punto en el arco menor $AC$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ tal que $DP \parallel BC$. Finalmente, sea $M$ el punto medio del lado $AB$. Demuestre que $\angle APD=\angle MPB$. Propuesto por Dominik Burek, Polonia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por XbenX, 13 de septiembre de 2019, 3:07 a. m. Z K Y