Tenemos doce monedas, una de las cuales es falsa con una masa diferente a las otras once. Determine esa moneda con tres pesadas y si es más pesada o más ligera que las demás.

Dado un cuadrado $ABCD$, sean $P, Q, R$ y $S$ cuatro puntos variables en los lados $AB, BC, CD$ y $DA$, respectivamente. Determine las posiciones de los puntos $P, Q, R$ y $S$ para los cuales el cuadrilátero $PQRS$ es un paralelogramo, un rectángulo, un cuadrado o un trapecio.

Considera el cuadrado $ABCD$ en el que se dibuja un segmento entre cada vértice y los puntos medios de ambos lados opuestos. Encuentra la razón del área del octágono determinado por estos segmentos y el área del cuadrado $ABCD$.

Sea $E$ el conjunto de $1983^3$ puntos del espacio $\mathbb R^3$ cuyas tres coordenadas son enteros entre $0$ y $1982$ (incluyendo $0$ y $1982$). Un coloreo de $E$ es una función de $E$ al conjunto {rojo, azul}. ¿Cuántos coloreos de $E$ hay que satisfacen la siguiente propiedad: El número de vértices rojos entre los $8$ vértices de cualquier paralelepípedo rectángulo es un múltiplo de $4$?

Cuatro caras del tetraedro $ABCD$ son triángulos congruentes cuyos ángulos forman una progresión aritmética. Si las longitudes de los lados de los triángulos son $a < b < c$ , determine el radio de la esfera circunscrita al tetraedro como una función de $a, b$ , y $c$ . ¿Cuál es la razón $c/a$ si $R = a \ ?$

Si $\alpha $ es la raíz real de la ecuación \[E(x) = x^3 - 5x -50 = 0\] tal que $x_{n+1} = (5x_n + 50)^{1/3}$ y $x_1 = 5$ , donde $n$ es un entero positivo, demuestre que: (a) $x_{n+1}^3 - \alpha^3 = 5(x_n - \alpha)$ (b) $\alpha < x_{n+1} < x_n.$

Sea $\{u_n \}$ la sucesión definida por sus dos primeros términos $u_0, u_1$ y la fórmula de recurrencia \[u_{n+2 }= u_n - u_{n+1}.\] (a) Demuestre que $u_n$ puede escribirse en la forma $u_n = \alpha a^n + \beta b^n$ , donde $a, b, \alpha, \beta$ son constantes independientes de $n$ que deben determinarse. (b) Si $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$ , demuestre que $S_n + u_{n-1}$ es una constante independiente de $n.$ Determine esta constante.

Los puntos $A_1,A_2, \ldots , A_{1983}$ están situados en la circunferencia de un círculo y a cada uno se le asigna uno de los valores $\pm 1$ . Demuestre que si el número de puntos con el valor $+1$ es mayor que $1789$ , entonces al menos $1207$ de los puntos tendrán la propiedad de que las sumas parciales que se pueden formar tomando los números desde ellos hasta cualquier otro punto, en cualquier dirección, son estrictamente positivas.

El conjunto $X$ tiene $1983$ miembros. Existe una familia de subconjuntos $\{S_1, S_2, \ldots , S_k \}$ tal que: (i) la unión de cualesquiera tres de estos subconjuntos es el conjunto completo $X$ , mientras que (ii) la unión de cualesquiera dos de ellos contiene como máximo $1979$ miembros. ¿Cuál es el mayor valor posible de $k ?$

Sean $P_1, P_2, \dots , P_n$ puntos distintos del plano, $n \geq 2$ . Demuestra que \[ \max_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j > \frac{\sqrt 3}{2}(\sqrt n -1) \min_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j \]