En un plano se dan n puntos $P_i \ (i = 1, 2, \ldots , n)$ y dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ . Sobre cada uno de los segmentos $P_iP_{i+1} \ (P_{n+1} = P_1)$ un punto $Q_i$ se construye tal que para todo $i$ : (i) al moverse de $P_i$ a $P_{i+1}, Q_i$ se ve en el mismo lado de $P_iP_{i+1}$ , (ii) $\angle P_{i+1}P_iQ_i = \alpha,$ (iii) $\angle P_iP_{i+1}Q_i = \beta.$ Además, sea $g$ una línea en el mismo plano con la propiedad de que todos los puntos $P_i,Q_i$ se encuentran en el mismo lado de $g$ . Demuestra que \[\sum_{i=1}^n d(P_i, g)= \sum_{i=1}^n d(Q_i, g).\] donde $d(M,g)$ denota la distancia desde el punto $M$ a la línea $g.$

Sea $F(n)$ el conjunto de polinomios $P(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ , con $a_0, a_1, . . . , a_n \in \mathbb R$ y $0 \leq a_0 = a_n \leq a_1 = a_{n-1 } \leq \cdots \leq a_{[n/2] }= a_{[(n+1)/2]}.$ Demuestra que si $f \in F(m)$ y $g \in F(n)$ , entonces $fg \in F(m + n).$

Sean $a, b, c$ números reales positivos y sea $[x]$ denote el mayor entero que no excede al número real $x$ . Suponga que $f$ es una función definida en el conjunto de los enteros no negativos $n$ y que toma valores reales tal que $f(0) = 0$ y \[f(n) \leq an + f([bn]) + f([cn]), \qquad \text{ para todo } n \geq 1.\] Demuestra que si $b + c < 1$ , existe un número real $k$ tal que \[f(n) \leq kn \qquad \text{ para todo } n \qquad (1)\] mientras que si $b + c = 1$ , existe un número real $K$ tal que $f(n) \leq K n \log_2 n$ para todo $n \geq 2$ . Muestra que si $b + c = 1$ , puede que no exista un número real $k$ que satisfaga $(1).$

Encuentra todas las funciones $f$ definidas en el conjunto de los reales positivos que toman valores reales positivos y satisfacen: $f(xf(y))=yf(x)$ para todo $x,y$ ; y $f(x)\to0$ cuando $x\to\infty$ .

Demuestre la existencia de una secuencia única $\{u_n\} \ (n = 0, 1, 2 \ldots )$ de enteros positivos tales que\n\[u_n^2 = \sum_{r=0}^n \binom{n+r}{r} u_{n-r} \qquad \text{para todo } n \geq 0\]

Sea $O$ un punto fuera de un círculo dado. Dos líneas $OAB, OCD$ que pasan por $O$ se encuentran con el círculo en $A,B,C,D$ , donde $A,C$ son los puntos medios de $OB,OD$ , respectivamente. Además, el ángulo agudo $\theta$ entre las líneas es igual al ángulo agudo en el que cada línea corta el círculo. Encuentre $\cos \theta$ y demuestre que las tangentes en $A,D$ al círculo se encuentran en la línea $BC.$

Demuestre que si los lados $a, b, c$ de un triángulo satisfacen la ecuación\n\[2(ab^2 + bc^2 + ca^2) = a^2b + b^2c + c^2a + 3abc,\] entonces el triángulo es equilátero. Demuestre también que la ecuación puede ser satisfecha por números reales positivos que no son los lados de un triángulo.

Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos, de los cuales no dos tienen un divisor común mayor que $1$ . Demuestre que $2abc-ab-bc-ca$ es el entero más grande que no puede expresarse en la forma $xbc+yca+zab$ , donde $x,y,z$ son enteros no negativos.

Sean $a, b, c$ enteros positivos que satisfacen $\gcd (a, b) = \gcd (b, c) = \gcd (c, a) = 1$ . Demuestre que $2abc-ab-bc-ca$ no puede representarse como $bcx+cay +abz$ con enteros no negativos $x, y, z.$

¿Cuántas permutaciones $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de $\{1, 2, . . ., n \}$ se ordenan en orden creciente con como máximo tres repeticiones de la siguiente operación: Mover de izquierda a derecha e intercambiar $a_i$ y $a_{i+1}$ siempre que $a_i > a_{i+1}$ para $i$ desde $1$ hasta $n - 1 \ ?$