Cada $x, 0 \leq x \leq 1$, admite una representación única $x = \sum_{j=0}^{\infty} a_j 2^{-j}$, donde todos los $a_j$ pertenecen a $\{0, 1\}$ e infinitos de ellos son $0$. Si $b(0) = \frac{1+c}{2+c}, b(1) =\frac{1}{2+c},c > 0$, y\n\[f(x)=a_0 + \sum_{j=0}^{\infty}b(a_0) \cdots b(a_j) a_{j+1}\]\nmostrar que $0 < f(x) -x < c$ para todo $x, 0 < x < 1.$

Sean $p$ y $q$ enteros. Demostrar que existe un intervalo $I$ de longitud $1/q$ y un polinomio $P$ con coeficientes enteros tal que\n\[ \left|P(x)-\frac pq \right| < \frac{1}{q^2}\]\npara todo $x \in I.$

¿Existe un número infinito de conjuntos $C$ que constan de $1983$ números naturales consecutivos tales que cada uno de los números es divisible por algún número de la forma $a^{1983}$, con $a \in \mathbb N, a \neq 1?$

Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ para los cuales es posible para un caballo, comenzando en uno de los cuadrados de un tablero de ajedrez de $n \times n$, recorrer cada uno de los cuadrados exactamente una vez.

Sean $f$ y $g$ funciones del conjunto $A$ al mismo conjunto $A$ . Definimos $f$ como una raíz funcional $n$ - ésima de $g$ ( $n$ es un entero positivo) si $f^n(x) = g(x)$ , donde $f^n(x) = f^{n-1}(f(x)).$ (a) Demuestre que la función $g : \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = 1/x$ tiene un número infinito de raíces funcionales $n$ - ésimas para cada entero positivo $n.$ (b) Demuestre que existe una biyección de $\mathbb R$ sobre $\mathbb R$ que no tiene raíz funcional n-ésima para cada entero positivo $n.$

Sea $a$ un entero positivo y sea $\{a_n\}$ definido por $a_0 = 0$ y \[a_{n+1 }= (a_n + 1)a + (a + 1)a_n + 2 \sqrt{a(a + 1)a_n(a_n + 1)} \qquad (n = 1, 2 ,\dots ).\] Demuestre que para cada entero positivo $n$ , $a_n$ es un entero positivo.

Sea $b \geq 2$ un entero positivo. (a) Demuestre que para que un entero $N$ , escrito en base $b$ , sea igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos, es necesario que $N = 1$ o que $N$ tenga solo dos dígitos. (b) Dé una lista completa de todos los enteros que no superen $50$ que, con respecto a alguna base $b$ , sean iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos. (c) Demuestre que para cualquier base b, el número de enteros de dos dígitos que son iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos es par. (d) Demuestre que para cualquier base impar $b$ existe un entero distinto de $1$ que es igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos.

¿De cuántas maneras se pueden ordenar $1, 2,\ldots, 2n$ en una matriz rectangular de $2 \times n$ $\left(\begin{array}{cccc}a_1& a_2 & \cdots & a_n\\b_1& b_2 & \cdots & b_n\end{array}\right)$ para la cual: (i) $a_1 < a_2 < \cdots < a_n,$ (ii) $b_1 < b_2 <\cdots < b_n,$ (iii) $a_1 < b_1, a_2 < b_2, \ldots, a_n < b_n \ ?$

Suponga que ${x_1, x_2, \dots , x_n}$ son enteros positivos para los cuales $x_1 + x_2 + \cdots+ x_n = 2(n + 1)$ . Demuestre que existe un entero $r$ con $0 \leq r \leq n - 1$ para el cual se cumplen las siguientes $n - 1$ desigualdades: \[x_{r+1} + \cdots + x_{r+i} \leq 2i+ 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq n - r; \] \[x_{r+1} + \cdots + x_n + x_1 + \cdots+ x_i \leq 2(n - r + i) + 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq r - 1.\]

Encuentra todas las secuencias finitas posibles $\{n_0, n_1, n_2, \ldots, n_k \}$ de enteros tales que para cada $i, i$ aparece en la secuencia $n_i$ veces $(0 \leq i \leq k).$