Sea $\ell$ tangente al círculo $k$ en $B$. Sea $A$ un punto en $k$ y $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $\ell$. Sea $M$ simétrico a $P$ con respecto a $AB$. Encuentra el conjunto de todos esos puntos $M$.

Sea $p$ un número primo y $a_1, a_2, \ldots, a_{(p+1)/2}$ diferentes números naturales menores o iguales que $p$. Demuestra que para cada número natural $r$ menor o igual que $p$, existen dos números (quizás iguales) $a_i$ y $a_j$ tales que \[p \equiv a_i a_j \pmod r.\]

El número $0$ o $1$ debe asignarse a cada uno de los $n$ vértices de un polígono regular. ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer esto (si consideramos dos asignaciones que se pueden obtener una de la otra mediante rotación en el plano del polígono para que sean idénticas)?

Un niño en el punto $A$ quiere sacar agua de un lago circular y llevarla al punto $B$. Encuentra el punto $C$ en el lago tal que la distancia recorrida por el niño sea la más corta posible, dado que la línea $AB$ y el lago son exteriores entre sí.

¿Cuál de los números $1, 2, \ldots , 1983$ tiene el mayor número de divisores?

Considere el conjunto de todas las secuencias estrictamente decrecientes de $n$ números naturales que tienen la propiedad de que en cada secuencia ningún término divide a ningún otro término de la secuencia. Sean $A = (a_j)$ y $B = (b_j)$ dos secuencias de este tipo. Decimos que $A$ precede a $B$ si para algún $k$ , $a_k < b_k$ y $a_i = b_i$ para $i < k$ . Encuentre los términos de la primera secuencia del conjunto bajo este ordenamiento.

En los lados del triángulo $ABC$ , se construyen tres triángulos isósceles similares $ABP \ (AP = PB)$ , $AQC \ (AQ = QC)$ , y $BRC \ (BR = RC)$ . Los dos primeros se construyen externamente al triángulo $ABC$ , pero el tercero se coloca en el mismo semiplano determinado por la línea $BC$ que el triángulo $ABC$ . Demuestre que $APRQ$ es un paralelogramo.

Encuentre todos los números $x \in \mathbb Z$ para los cuales el número \[x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\] es un cuadrado perfecto.

Sean $ a$ , $ b$ y $ c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que \[ a^{2}b(a - b) + b^{2}c(b - c) + c^{2}a(c - a)\ge 0. \] Determinar cuándo se da la igualdad.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Sea $f$ una función definida en $\mathbb{N}$ , que satisface la desigualdad $f(n + 1) > f(f(n))$ para todo $n \in \mathbb{N}$ . Pruebe que para cualquier $n$ tenemos $f(n) = n.$