Sean $a,b$ dos números naturales. Cuando dividimos $a^2+b^2$ por $a+b$ , obtenemos el resto $r$ y el cociente $q.$ Determine todos los pares $(a, b)$ para los cuales $q^2 + r = 1977.$

Sean $a,b,A,B$ números reales dados. Consideramos la función definida por \[ f(x) = 1 - a \cdot \cos(x) - b \cdot \sin(x) - A \cdot \cos(2x) - B \cdot \sin(2x). \] Pruebe que si para cualquier número real $x$ tenemos $f(x) \geq 0$ entonces $a^2 + b^2 \leq 2$ y $A^2 + B^2 \leq 1.$

Sea $n$ un número dado mayor que 2. Consideramos el conjunto $V_n$ de todos los enteros de la forma $1 + kn$ con $k = 1, 2, \ldots$ Un número $m$ de $V_n$ se llama indescomponible en $V_n$ si no hay dos números $p$ y $q$ de $V_n$ tales que $m = pq.$ Demuestre que existe un número $r \in V_n$ que puede expresarse como el producto de elementos indescomponibles en $V_n$ de más de una forma. (Las expresiones que difieren sólo en el orden de los elementos de $V_n$ se considerarán iguales).

En una secuencia finita de números reales, la suma de siete términos sucesivos cualesquiera es negativa y la suma de once términos sucesivos cualesquiera es positiva. Determine el número máximo de términos en la secuencia.

En el interior de un cuadrado $ABCD$ construimos los triángulos equiláteros $ABK, BCL, CDM, DAN.$ Pruebe que los puntos medios de los cuatro segmentos $KL, LM, MN, NK$ y los puntos medios de los ocho segmentos $AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN$ son los 12 vértices de un dodecágono regular.

Sea $ABCD$ el tetraedro regular, y $M, N$ puntos en el espacio. Demuestre que: $AM \cdot AN + BM \cdot BN + CM \cdot CN \geq DM \cdot DN$

Para cada entero positivo $k$, denotamos $C(k)$ como la suma de sus divisores primos distintos. Por ejemplo, $C(1)=0,C(2)=2,C(45)=8$ . Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales $C(2^n+1)=C(n)$ .

Sea $(a_n)$ una secuencia de enteros positivos tal que los primeros $k$ miembros $a_1,a_2,...,a_k$ son enteros positivos distintos, y para cada $n>k$ , el número $a_n$ es el entero positivo más pequeño que no se puede representar como una suma de varios (posiblemente uno) de los números $a_1,a_2,...,a_{n-1}$ . Demuestre que $a_n=2a_{n-1}$ para todo $n$ suficientemente grande.

Un rectángulo en un papel cuadriculado con longitud del lado de un cuadrado unitario siendo $1$ se divide en figuras de dominó (dos cuadrados unitarios que comparten un borde común). Demuestre que si colorea todas las esquinas de los cuadrados en el borde del rectángulo y dentro del rectángulo con $3$ colores, de modo que para cualquier par de esquinas con distancia $1$ se cumplen las siguientes condiciones: se colorean con un color diferente si la línea que conecta las dos esquinas está en el borde de dos figuras de dominó y se colorean con el mismo color si la línea que conecta las dos esquinas está dentro de una figura de dominó.

Encuentre todas las funciones $f:R \rightarrow R$ tales que $$(x+y^2)f(yf(x))=xyf(y^2+f(x))$$ , donde $x,y \in \mathbb{R}$