Sea $ABC$ un triángulo no isósceles con circuncírculo $\omega$ y sean $H, M$ el ortocentro y el punto medio de $AB$ respectivamente. Sean $P,Q$ puntos en el arco $AB$ de $\omega$ que no contiene a $C$ tales que $\angle ACP=\angle BCQ < \angle ACQ$ . Sean $R,S$ los pies de las alturas desde $H$ a $CQ,CP$ respectivamente. Demuestre que los puntos $P,Q,R,S$ son concíclicos y $M$ es el centro de este círculo.

Para un entero positivo $n$ define una secuencia de ceros y unos como balanceada si contiene $n$ ceros y $n$ unos. Dos secuencias balanceadas $a$ y $b$ son vecinas si puedes mover uno de los $2n$ símbolos de $a$ a otra posición para formar $b$ . Por ejemplo, cuando $n = 4$ , las secuencias balanceadas $01101001$ y $00110101$ son vecinas porque el tercer (o cuarto) cero en la primera secuencia se puede mover a la primera o segunda posición para formar la segunda secuencia. Demuestra que hay un conjunto $S$ de a lo sumo $\frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}$ secuencias balanceadas tales que cada secuencia balanceada es igual o es vecina de al menos una secuencia en $S$ .

Encuentra todas las sucesiones finitas $(x_0, x_1, \ldots,x_n)$ tales que para cada $j$ , $0 \leq j \leq n$ , $x_j$ es igual al número de veces que $j$ aparece en la sucesión.

Un conjunto de tres enteros no negativos $\{x,y,z\}$ con $x < y < z$ se llama histórico si $\{z-y,y-x\} = \{1776,2001\}$ . Demuestra que el conjunto de todos los enteros no negativos puede escribirse como la unión de conjuntos históricos disjuntos por pares.

Define un $k$ -clique como un conjunto de $k$ personas tales que cada par de ellas se conocen entre sí. En una fiesta determinada, cada par de 3-cliques tiene al menos una persona en común, y no hay 5-cliques. Demuestra que hay dos o menos personas en la fiesta cuya partida no deja ningún 3-clique restante.

Sea $n$ un entero impar mayor que 1 y sean $c_1, c_2, \ldots, c_n$ enteros. Para cada permutación $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ , define $S(a) = \sum_{i=1}^n c_i a_i$ . Demuestra que existen permutaciones $a \neq b$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ tales que $n!$ es un divisor de $S(a)-S(b)$ .

Sea $A = (a_1, a_2, \ldots, a_{2001})$ una secuencia de enteros positivos. Sea $m$ el número de subsecuencias de 3 elementos $(a_i,a_j,a_k)$ con $1 \leq i < j < k \leq 2001$ , tales que $a_j = a_i + 1$ y $a_k = a_j + 1$ . Considerando todas esas secuencias $A$ , encuentra el mayor valor de $m$ .

Demuestra que para todos los números reales positivos $a,b,c$ , \n\[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1. \]

Encuentra todos los enteros positivos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ tales que\n\[\n\frac{99}{100} = \frac{a_0}{a_1} + \frac{a_1}{a_2} + \cdots +\n\frac{a_{n-1}}{a_n},\n\] donde $a_0 = 1$ y $(a_{k+1}-1)a_{k-1} \geq a_k^2(a_k - 1)$ para $k = 1,2,\ldots,n-1$.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales arbitrarios. Demuestre la desigualdad\n\[\n\frac{x_1}{1+x_1^2} + \frac{x_2}{1+x_1^2 + x_2^2} + \cdots +\n\frac{x_n}{1 + x_1^2 + \cdots + x_n^2} < \sqrt{n}.\n\]