Sean $a_0, a_1, a_2, \ldots$ una secuencia infinita arbitraria de números positivos. Demuestre que la desigualdad $1 + a_n > a_{n-1} \sqrt[n]{2}$ se cumple para infinitos enteros positivos $n$.

Sea $ T$ el conjunto de todas las ternas ordenadas $ (p,q,r)$ de enteros no negativos. Encuentre todas las funciones $ f: T \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen \[ f(p,q,r) = \begin{cases} 0 & \text{si} \; pqr = 0, \\ 1 + \frac{1}{6}(f(p + 1,q - 1,r) + f(p - 1,q + 1,r) & \\ \n+ f(p - 1,q,r + 1) + f(p + 1,q,r - 1) & \\ + f(p,q + 1,r - 1) + f(p,q - 1,r + 1)) & \text{en caso contrario} \end{cases} \]

Sea $p \geq 5$ un número primo. Demuestre que existe un entero $a$ con $1 \leq a \leq p-2$ tal que ni $a^{p-1}-1$ ni $(a+1)^{p-1}-1$ es divisible por $p^2$.

Sea $ a_1 = 11^{11}, \, a_2 = 12^{12}, \, a_3 = 13^{13}$ , y $ a_n = |a_{n - 1} - a_{n - 2}| + |a_{n - 2} - a_{n - 3}|, n \geq 4.$\nDetermine $ a_{14^{14}}$.

Considere el sistema\n\begin{align*}x + y &= z + u,\\2xy & = zu.\end{align*}\nEncuentre el mayor valor de la constante real $m$ tal que $m \leq x/y$ para cualquier solución entera positiva $(x,y,z,u)$ del sistema, con $x \geq y$.

Suponga que tal entero $n$ existe. Para cada $1\leq k\leq 9$, existe un entero $p_{k}$ tal que:\n$k.10^{p_{k}}\leq (n+k)! < (k+1).10^{p_{k}}$\nAl formar el cociente entre dos desigualdades sucesivas, encontramos que para cada $2\leq k \leq 9$,\n$10^{p_{k}-p_{k-1}}<n+k<\frac{k+1}{k-1}10^{p_{k}-p_{k-1}}$ (1)\nComo $\frac{k+1}{k-1}<10$ para cada $2\leq k \leq 9$, sabemos que $p_{k}-p_{k-1}$ es una constante (es decir, no depende de k). Asuma $p_{k}-p_{k-1}=l$. Simplemente use (1) con $k=9$, y encontrará:\n$%Error. 'foreach' is a bad command.\n1\leq k \leq 9, \ \ 10^{l}\leq n+k<1,25.10^{l}$ ( 2)\n(por cierto, esto prueba que si tal entero $n$ existe, tenemos $l\geq 2$ y $n+1\geq 100$)\nAhora, de $(n+1)n!=(n+1)!<2.10^{p_{1}}$ y $(n+4)^{4}n!>(n+4)!\geq 4.10^{p_{4}}$\nObtenemos $\frac{(n+4)^{4}}{n+1}>2.10^{p_{4}-p_{1}}=2.10^{3l}$\nsi $l\geq 3$, entonces $n+1\geq 1000$ (usando (2) )\nasí que $\frac{n+1}{n+4}\geq \frac{1000}{1003}$\nasí que:\n$(n+4)^{3}=\frac{(n+4)^{4}}{n+1}.\frac{n+1}{n+4}>\frac{1000}{1003}2.10^{3l}$\n$n+4>\left(2\frac{1000}{1003}\right)^{1/3}.10^{l}>1,25.10^{l}$\nlo cual contradice (2).\nDe lo contrario, $l=2$, y $\frac{(n+4)^{4}}{n+1}>2.10^{6}$\n$n+1\geq 100$ (usando (2) )\nasí que $\frac{n+1}{n+4}\geq \frac{100}{103}$\nasí que:\n$(n+4)^{3}=\frac{(n+4)^{4}}{n+1}.\frac{n+1}{n+4}>\frac{100}{103}2.10^{6}$\n$n+4>\left(2\frac{100}{103}\right)^{1/3}.10^{2}>123$\nasí que:\n$n+9>125$\nlo cual nuevamente contradice (2).

Demuestra que no existe un entero positivo $n$ tal que, para $k = 1,2,\ldots,9$, el dígito más a la izquierda (en notación decimal) de $(n+k)!$ sea igual a $k$.

Veintiuna chicas y veintiún chicos participaron en una competencia matemática. Resultó que cada concursante resolvió como máximo seis problemas, y para cada par de una chica y un chico, hubo al menos un problema que fue resuelto tanto por la chica como por el chico. Demuestre que hay un problema que fue resuelto por al menos tres chicas y al menos tres chicos.

Se coloca una pila de $n$ guijarros en una columna vertical. Esta configuración se modifica de acuerdo con las siguientes reglas. Se puede mover un guijarro si está en la parte superior de una columna que contiene al menos dos guijarros más que la columna inmediatamente a su derecha. (Si no hay guijarros a la derecha, piense en esto como una columna con 0 guijarros). En cada etapa, elija un guijarro de entre los que se pueden mover (si los hay) y colóquelo en la parte superior de la columna a su derecha. Si no se pueden mover guijarros, la configuración se denomina configuración final. Para cada $n$, demuestre que, sin importar las elecciones que se hagan en cada etapa, la configuración final obtenida es única. Describe esa configuración en términos de $n$.

¿Es posible encontrar $100$ enteros positivos que no excedan $25,000$, tales que todas las sumas por pares de ellos sean diferentes?