La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. JuanDelPan 122 publicaciones JuanDelPan #1 h 27 de oct. de 2022, 3:08 p. m. • 2 Y Y por LLL2019, cubres Encuentre todas las ternas ordenadas $(p,q,r)$ de enteros positivos tales que $p$ y $q$ son dos números primos (no necesariamente distintos), $r$ es par, y \[p^3+q^2=4r^2+45r+103.\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:00 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Decimos que un entero $k \geq 1$ tiene la propiedad $P$ si existe al menos un entero $m \geq 1$ que no puede expresarse de la forma $m = \varepsilon_1 z_1^k + \varepsilon_2 z_2^k + \cdots + \varepsilon_{2k} z_{2k}^k $, donde $z_i$ son enteros no negativos y $\varepsilon _i = 1$ o $-1$, $i = 1, 2, \ldots, 2k$. Demuestre que existen infinitos enteros $k$ que tienen la propiedad $P.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 15 de ago. de 2008, 12:55 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El incentro del triángulo $ ABC$ es $ K.$ El punto medio de $ AB$ es $ C_1$ y el de $ AC$ es $ B_1.$ Las rectas $ C_1K$ y $ AC$ se cortan en $ B_2,$ las rectas $ B_1K$ y $ AB$ en $ C_2.$ Si las áreas de los triángulos $ AB_2C_2$ y $ ABC$ son iguales, ¿cuál es la medida del ángulo $ \angle CAB?$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 1:23 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sean $a + bi$ y $c + di$ dos raíces de la ecuación $x^n = 1990$ , donde $n \geq 3$ es un entero y $a,b,c,d \in \mathbb R$ . Bajo la transformación lineal $f =\left(\begin{array}{cc}a&c\\b &d\end{array}\right)$ , tenemos que $(2, 1) \to (1, 2)$ . Denotemos $r$ como la distancia desde la imagen de $(2, 2)$ al origen. Encuentre el rango de $r.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 3:18 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $a, b, c \in \mathbb R$. Demuestre que \[(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) \geq (ab + bc + ca)^3.\] ¿Cuándo se cumple la igualdad? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:03 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Encuentre, con demostración, el menor entero positivo $n$ que tiene la siguiente propiedad: en la representación binaria de $\frac 1n$, todas las representaciones binarias de $1, 2, \ldots, 1990$ (cada una consiste en dígitos consecutivos) aparecen después del punto decimal. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 9:56 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Seis ciudades $A, B, C, D, E$ y $F$ están ubicadas en los vértices de un hexágono regular en ese orden. $G$ es el centro del hexágono. Los lados del hexágono son las carreteras que conectan estas ciudades. Además, hay carreteras que conectan las ciudades $B, C, E, F$ y $G$, respectivamente. Debido a la lluvia, una o más carreteras pueden ser destruidas. La probabilidad de que la carretera entre dos ciudades consecutivas permanezca sin destruir es $p$. Determine la probabilidad de que la carretera entre las ciudades $A$ y $D$ esté sin destruir. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 9:46 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 $A$ y $B$ son dos puntos en el plano $\alpha$, y la recta $r$ pasa por los puntos $A, B$. Hay $n$ puntos distintos $P_1, P_2, \ldots, P_n$ en uno de los semiplanos divididos por la recta $r$. Demuestre que hay al menos $\sqrt n$ valores distintos entre las distancias $AP_1, AP_2, \ldots, AP_n, BP_1, BP_2, \ldots, BP_n$. Z K Y

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La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 19 de sep. de 2010, 4:36 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para cualquier permutación $p$ del conjunto $\{1, 2, \ldots, n\}$, defina $d(p) = |p(1) - 1| + |p(2) - 2| + \ldots + |p(n) - n|$. Denotemos por $i(p)$ el número de pares de enteros $(i, j)$ en la permutación $p$ tales que $1 \leqq i < j \leq n$ y $p(i) > p(j)$. Encuentre todos los números reales $c$ tales que la desigualdad $i(p) \leq c \cdot d(p)$ se cumpla para cualquier entero positivo $n$ y cualquier permutación $p.$ Z K Y