Sean $a > b > c > d$ enteros positivos y suponga que \[ ac + bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c). \] Demuestre que $ab + cd$ no es primo.

Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , que satisfacen\n\[\nf(xy)(f(x) - f(y)) = (x-y)f(x)f(y)\n\] para todo $x,y$ .

Sea $ABC$ un triángulo con centroide $G$. Determine, con demostración, la posición del punto $P$ en el plano de $ABC$ tal que $AP{\cdot}AG + BP{\cdot}BG + CP{\cdot}CG$ es un mínimo, y exprese este valor mínimo en términos de las longitudes de los lados de $ABC$.

Considere un triángulo acutángulo $ABC$. Sea $P$ el pie de la altura del triángulo $ABC$ que sale del vértice $A$, y sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Asuma que $\angle C \geq \angle B+30^{\circ}$. Demuestre que $\angle A+\angle COP < 90^{\circ}$.

Sea $A_1$ el centro del cuadrado inscrito en el triángulo acutángulo $ABC$ con dos vértices del cuadrado en el lado $BC$. Así, uno de los dos vértices restantes del cuadrado está en el lado $AB$ y el otro está en $AC$. Los puntos $B_1, C_1$ se definen de manera similar para los cuadrados inscritos con dos vértices en los lados $AC$ y $AB$, respectivamente. Demuestre que las líneas $AA_1, BB_1, CC_1$ son concurrentes.

Para cada entero $n \geq 2$ determine el valor mínimo que puede tomar la suma $\sum^n_{i=0} a_i$ para números no negativos $a_0, a_1, \ldots, a_n$ que satisfacen la condición $a_0 = 1,$ $a_i \leq a_{i+1} + a_{i+2}$ para $i = 0, \ldots, n - 2.$

Sean $X,Y,Z$ los puntos medios de los arcos pequeños $BC,CA,AB$ respectivamente (arcos de la circunferencia circunscrita de $ABC$). $M$ es un punto arbitrario en $BC$, y las paralelas a través de $M$ a las bisectrices internas de $ \angle B,\angle C$ cortan las bisectrices externas de $\angle C,\angle B$ en $N,P$ respectivamente. Demuestra que $XM,YN,ZP$ concurren.

Para cada entero positivo $n$, sea $f(n)$ el número de formas de representar $n$ como una suma de potencias de 2 con exponentes enteros no negativos. Las representaciones que difieren solo en el orden de sus sumandos se consideran iguales. Por ejemplo, $f(4) = 4$, porque el número 4 puede representarse de las siguientes cuatro maneras: 4; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1. Demuestra que, para cualquier entero $n \geq 3$ tenemos $2^{\frac {n^2}{4}} < f(2^n) < 2^{\frac {n^2}2}$.

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo. Las diagonales $ AC$ y $ BD$ se intersecan en $ K$ . Demuestra que $ ABCD$ es cíclico si y solo si $ AK \sin A + CK \sin C = BK \sin B + DK \sin D$ .

¿Existen funciones $ f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $ f(g(x)) = x^2$ y $ g(f(x)) = x^k$ para todos los números reales $ x$ a) si $ k = 3$ ? b) si $ k = 4$ ?