Sean $ x_1$ , $ x_2$ , $ \ldots$ , $ x_n$ números reales que satisfacen las condiciones: \[ \left\{\begin{array}{cccc} |x_1 + x_2 + \cdots + x_n | & = & 1 & \ \ |x_i| & \leq & \displaystyle \frac {n + 1}{2} & \ \textrm{ para }i = 1, 2, \ldots , n. \end{array} \right. \] Demuestra que existe una permutación $ y_1$ , $ y_2$ , $ \ldots$ , $ y_n$ de $ x_1$ , $ x_2$ , $ \ldots$ , $ x_n$ tal que \[ | y_1 + 2 y_2 + \cdots + n y_n | \leq \frac {n + 1}{2}. \]

Sea $ ABC$ un triángulo. $ D$ es un punto en el lado $ (BC)$ . La línea $ AD$ se encuentra nuevamente con la circunferencia circunscrita en $ X$ . $ P$ es el pie de la perpendicular desde $ X$ a $ AB$ , y $ Q$ es el pie de la perpendicular desde $ X$ a $ AC$ . Demuestra que la línea $ PQ$ es tangente al círculo en el diámetro $ XD$ si y solo si $ AB = AC$ .

Sean $ a_1\geq \cdots \geq a_n \geq a_{n + 1} = 0$ números reales. Demuestra que \[ \sqrt {\sum_{k = 1}^n a_k} \leq \sum_{k = 1}^n \sqrt k (\sqrt {a_k} - \sqrt {a_{k + 1}}). \]

Las alturas que pasan por los vértices $ A,B,C$ de un triángulo acutángulo $ ABC$ se encuentran con los lados opuestos en $ D,E, F,$ respectivamente. La línea que pasa por $ D$ paralela a $ EF$ se encuentra con las líneas $ AC$ y $ AB$ en $ Q$ y $ R,$ respectivamente. La línea $ EF$ se encuentra con $ BC$ en $ P.$ Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $ PQR$ pasa por el punto medio de $ BC.$

Encuentra todos los pares $ (a,b)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación: $ a^{b^2} = b^a$ .

En un triángulo acutángulo $ ABC,$ sean $ AD,BE$ las alturas y $ AP,BQ$ las bisectrices internas. Denotemos por $ I$ y $ O$ el incentro y el circuncentro del triángulo, respectivamente. Demuestra que los puntos $ D, E,$ e $ I$ son colineales si y sólo si los puntos $ P, Q,$ y $ O$ son colineales.

Una progresión aritmética infinita cuyos términos son enteros positivos contiene el cuadrado de un entero y el cubo de un entero. Demuestra que contiene la sexta potencia de un entero.

Sean $ b, m, n$ enteros positivos tales que $ b > 1$ y $ m \neq n.$ Demostrar que si $ b^m - 1$ y $ b^n - 1$ tienen los mismos divisores primos, entonces $ b + 1$ es una potencia de 2.

En la ciudad $ A,$ hay $ n$ chicas y $ n$ chicos, y cada chica conoce a cada chico. En la ciudad $ B,$ hay $ n$ chicas $ g_1, g_2, \ldots, g_n$ y $ 2n - 1$ chicos $ b_1, b_2, \ldots, b_{2n-1}.$ La chica $ g_i,$ $ i = 1, 2, \ldots, n,$ conoce a los chicos $ b_1, b_2, \ldots, b_{2i-1},$ y a ningún otro. Para todo $ r = 1, 2, \ldots, n,$ denotamos por $ A(r),B(r)$ el número de diferentes formas en las que $ r$ chicas de la ciudad $ A,$ respectivamente la ciudad $ B,$ pueden bailar con $ r$ chicos de su propia ciudad, formando $ r$ parejas, cada chica con un chico que conoce. Demostrar que $ A(r) = B(r)$ para cada $ r = 1, 2, \ldots, n.$

Sea $ p$ un número primo y $ f$ un polinomio entero de grado $ d$ tal que $ f(0) = 0,f(1) = 1$ y $ f(n)$ es congruente a $ 0$ o $ 1$ módulo $ p$ para cada entero $ n$ . Demostrar que $ d\geq p - 1$ .