Sea $ P(x)$ un polinomio con coeficientes reales tal que $ P(x) > 0$ para todo $ x \geq 0.$ Demostrar que existe un entero positivo n tal que $ (1 + x)^n \cdot P(x)$ es un polinomio con coeficientes no negativos.

Hallar todos los enteros positivos $ k$ para los cuales la siguiente declaración es verdadera: Si $ F(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros que satisface la condición $ 0 \leq F(c) \leq k$ para cada $ c\in \{0,1,\ldots,k + 1\}$ , entonces $ F(0) = F(1) = \ldots = F(k + 1)$ .

Sea $ A_1A_2A_3$ un triángulo no isósceles con incentro $ I.$ Sea $ C_i,$ $ i = 1, 2, 3,$ el círculo más pequeño que pasa por $ I$ tangente a $ A_iA_{i+1}$ y $ A_iA_{i+2}$ (la adición de índices se hace módulo 3). Sea $ B_i, i = 1, 2, 3,$ el segundo punto de intersección de $ C_{i+1}$ y $ C_{i+2}.$ Demostrar que los circuncentros de los triángulos $ A_1 B_1I,A_2B_2I,A_3B_3I$ son colineales.

Se sabe que $ \angle BAC$ es el ángulo más pequeño en el triángulo $ ABC$ . Los puntos $ B$ y $ C$ dividen la circunferencia circunscrita del triángulo en dos arcos. Sea $ U$ un punto interior del arco entre $ B$ y $ C$ que no contiene a $ A$ . Las bisectrices perpendiculares de $ AB$ y $ AC$ se encuentran con la línea $ AU$ en $ V$ y $ W$ , respectivamente. Las líneas $ BV$ y $ CW$ se encuentran en $ T$ . Demostrar que $ AU = TB + TC$ . Formulación alternativa: Se eligen cuatro puntos diferentes $ A,B,C,D$ en un círculo $ \Gamma$ tales que el triángulo $ BCD$ no es rectángulo. Demostrar que: (a) Las bisectrices perpendiculares de $ AB$ y $ AC$ se encuentran con la línea $ AD$ en ciertos puntos $ W$ y $ V,$ respectivamente, y que las líneas $ CV$ y $ BW$ se encuentran en un cierto punto $ T.$ (b) La longitud de uno de los segmentos de línea $ AD, BT,$ y $ CT$ es la suma de las longitudes de los otros dos.

Las longitudes de los lados de un hexágono convexo $ ABCDEF$ satisfacen $ AB = BC$ , $ CD = DE$ , $ EF = FA$ . Demostrar que: \[ \frac {BC}{BE} + \frac {DE}{DA} + \frac {FA}{FC} \geq \frac {3}{2}.\]

(a) Sea $ n$ un entero positivo. Demostrar que existen enteros positivos distintos $ x, y, z$ tales que \[ x^{n-1} + y^n = z^{n+1}.\] (b) Sean $ a, b, c$ enteros positivos tales que $ a$ y $ b$ son relativamente primos y $ c$ es relativamente primo ya sea con $ a$ o con $ b.$ Demostrar que existen infinitos triples $ (x, y, z)$ de enteros positivos distintos $ x, y, z$ tales que \[ x^a + y^b = z^c.\]

Sea $ ABCD$ un tetraedro regular y $ M,N$ puntos distintos en los planos $ ABC$ y $ ADC$ respectivamente. Demuestre que los segmentos $ MN,BN,MD$ son los lados de un triángulo.

Una matriz de $ n \times n$ cuyas entradas provienen del conjunto $ S = \{1, 2, \ldots , 2n - 1\}$ se llama matriz plateada si, para cada $ i = 1, 2, \ldots , n$ , la $ i$ -ésima fila y la $ i$ -ésima columna contienen juntas todos los elementos de $ S$ . Demuestre que: (a) no existe una matriz plateada para $ n = 1997$ ; (b) existen matrices plateadas para infinitos valores de $ n$ .

Para cada conjunto finito $ U$ de vectores no nulos en el plano definimos $ l(U)$ como la longitud del vector que es la suma de todos los vectores en $ U.$ Dado un conjunto finito $ V$ de vectores no nulos en el plano, un subconjunto $ B$ de $ V$ se dice que es maximal si $ l(B)$ es mayor o igual que $ l(A)$ para cada subconjunto no vacío $ A$ de $ V.$ (a) Construya conjuntos de 4 y 5 vectores que tengan 8 y 10 subconjuntos maximales respectivamente. (b) Demuestre que, para cualquier conjunto $ V$ que consta de $ n \geq 1$ vectores, el número de subconjuntos maximales es menor o igual que $ 2n.$

Sea $ R_1,R_2, \ldots$ la familia de sucesiones finitas de enteros positivos definidas por las siguientes reglas: $ R_1 = (1),$ y si $ R_{n - 1} = (x_1, \ldots, x_s),$ entonces \[ R_n = (1, 2, \ldots, x_1, 1, 2, \ldots, x_2, \ldots, 1, 2, \ldots, x_s, n).\] Por ejemplo, $ R_2 = (1, 2),$ $ R_3 = (1, 1, 2, 3),$ $ R_4 = (1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 4).$ Demuestre que si $ n > 1,$ entonces el $ k$ -ésimo término desde la izquierda en $ R_n$ es igual a 1 si y sólo si el $ k$ -ésimo término desde la derecha en $ R_n$ es diferente de 1.