La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 12:01 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados los puntos $A, M, M_1$ y un número racional $\lambda \neq -1$. Construya el triángulo $ABC$, tal que $M$ se encuentre sobre $BC$ y $M_1$ se encuentre sobre $B_1C_1$ ($B_1, C_1$ son las proyecciones de $B, C$ sobre $AC, AB$ respectivamente), y $\frac{BM}{MC}=\frac{B_1M_1}{M_1C_1}=\lambda.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:42 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Hay $n$ puntos no coplanarios en el espacio. Demuestre que existe un círculo que pasa exactamente por tres de ellos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 11:44 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El turista en una isla puede jugar al juego de "conseguir el tesoro". Debe abrir una serie de puertas, cada puerta está coloreada con uno de n colores, de acuerdo con las siguientes reglas: (i) El turista tiene n llaves, cada llave de un color diferente. (ii) Una vez que se utiliza una llave, no se permite cambiarla hasta que sea destruida. (iii) Cada llave puede abrir cualquier puerta y permanece intacta cuando abre una puerta que tiene un color diferente al suyo, pero se destruye cuando abre una puerta que tiene el mismo color que ella. Encuentre el número mínimo de puertas para asegurar que ningún turista, sin importar cómo elija el orden de las llaves a utilizar, pueda obtener el tesoro. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 3:18 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $a, b, c \in \mathbb R$. Demuestre que \[(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) \geq (ab + bc + ca)^3.\] ¿Cuándo se cumple la igualdad? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:20 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo arbitrario. El círculo $\Gamma$ satisface las siguientes condiciones: (i) El círculo $\Gamma$ interseca los tres lados del triángulo $ABC.$ (ii) En el hexágono convexo formado por las seis intersecciones anteriores, los tres pares de lados opuestos son respectivamente paralelos. (El hexágono puede ser degenerado, es decir, dos o más vértices coinciden. En este caso, "lados opuestos son paralelos" se define mediante una opinión límite.) Encuentre el lugar geométrico del centro del círculo $\Gamma$ y explique cómo construir dicho lugar geométrico. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de nov. de 2005, 12:38 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Las cuerdas $ AB$ y $ CD$ de un círculo se cortan en un punto $ E$ dentro del círculo. Sea $ M$ un punto interior del segmento $ EB$ . La recta tangente en $ E$ al círculo que pasa por $ D$ , $ E$ y $ M$ corta a las rectas $ BC$ y $ AC$ en $ F$ y $ G$ , respectivamente. Si \[ \frac {AM}{AB} = t, \] encuentre $\frac {EG}{EF}$ en términos de $ t$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 15 de ago. de 2008, 11:17 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:22 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 La función $f(n), n \in \mathbb N$ , se define de la siguiente manera: Sea $\frac{(2n)!}{n!(n+1000)!} = \frac{A(n)}{B(n)}$ , donde $A(n), B(n)$ son enteros positivos coprimos; si $B(n) = 1$ , entonces $f(n) = 1$ ; si $B(n) \neq 1$ , entonces $f(n)$ es el mayor factor primo de $B(n)$ . Demuestre que los valores de $f(n)$ son finitos y encuentre el valor máximo de $f(n).$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:17 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el número $\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n}$ es un cuadrado perfecto. Obviamente, $1$ es el menor entero que tiene esta propiedad. Encuentre los siguientes dos menores enteros que tienen esta propiedad. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 19 de sep. de 2010, 5:01 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 $AB, AC$ son dos cuerdas del círculo centrado en $O$. El diámetro, que es perpendicular a $BC$, corta a $AB, AC$ en $F, G$ respectivamente ($F$ está en el círculo). La tangente desde $G$ es tangente al círculo en $T$. Demuestre que $F$ es la proyección de $T$ sobre $OG$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Fermat -Euler 444 publicaciones Fermat -Euler #1 h 2 de nov. de 2005, 8:03 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un plano corta un cono circular recto de volumen $ V$ en dos partes. El plano es tangente a la circunferencia de la base del cono y pasa por el punto medio de la altura. Encuentre el volumen de la parte más pequeña. Formulación original: Un plano corta un cono circular recto en dos partes. El plano es tangente a la circunferencia de la base del cono y pasa por el punto medio de la altura. Encuentre la razón entre el volumen de la parte más pequeña y el volumen del cono completo. Z K Y