La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. N.T.TUAN 3595 publicaciones N.T.TUAN #1 h 19 de dic. de 2005, 7:33 p. m. • 2 Y Y por Adventure10 y otro usuario Sea S un conjunto de 1990 elementos y P un conjunto de sucesiones de 100 términos $(a_1,a_2,...,a_{100})$, donde los $a_i$ son elementos distintos de S. Se dice que un par ordenado (x,y) de elementos de S aparece en $(a_1,a_2,...,a_{100})$ si $x=a_i$ y $y=a_j$ para algunos i,j con $1\leq i<j\leq 100$. Suponga que cada par ordenado (x,y) de elementos de S aparece en a lo sumo un miembro de P. Demuestre que $|P|\leq 800$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:42 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Hay $n$ puntos no coplanarios en el espacio. Demuestre que existe un círculo que pasa exactamente por tres de ellos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de nov. de 2005, 12:38 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Las cuerdas $ AB$ y $ CD$ de un círculo se cortan en un punto $ E$ dentro del círculo. Sea $ M$ un punto interior del segmento $ EB$ . La recta tangente en $ E$ al círculo que pasa por $ D$ , $ E$ y $ M$ corta a las rectas $ BC$ y $ AC$ en $ F$ y $ G$ , respectivamente. Si \[ \frac {AM}{AB} = t, \] encuentre $\frac {EG}{EF}$ en términos de $ t$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 15 de ago. de 2008, 11:17 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:44 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Demuestre que si $|x| < 1$, entonces \[ \frac{x}{(1-x)^2}+\frac{x^2}{(1+x^2)^2} + \frac{x^3}{(1-x^3)^2}+\cdots=\frac{x}{1-x}+\frac{2x^2}{1+x^2}+\frac{3x^3}{1-x^3}+\cdots\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 13 de sep. de 2010, 5:37 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Para cada $P$ dentro del triángulo $ABC$, sean $A(P), B(P)$ y $C(P)$ los puntos de intersección de las rectas $AP, BP$ y $CP$ con los lados opuestos a $A, B$ y $C$, respectivamente. Determine $P$ de tal manera que el área del triángulo $A(P)B(P)C(P)$ sea lo más grande posible. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:35 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Utilizando las siguientes cinco figuras, ¿se puede construir un paralelepípedo cuyas longitudes de lado sean todas enteros mayores que $1$ y cuyo volumen sea $1990$? (En la figura, cada cuadrado representa un cubo unitario). \[\text{Los cuadrados son iguales y todos son de } \Huge{1 \times 1}\] [asy] import graph; size(400); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen xdxdff = rgb(0.49,0.49,1); draw((2,4)--(0,4),linewidth(2pt)); draw((0,4)--(0,0),linewidth(2pt)); draw((0,0)--(2,0),linewidth(2pt)); draw((2,0)--(2,1),linewidth(2pt)); draw((2,1)--(0,1),linewidth(2pt)); draw((1,0)--(1,4),linewidth(2pt)); draw((2,4)--(2,3),linewidth(2pt)); draw((2,3)--(0,3),linewidth(2pt)); draw((0,2)--(1,2),linewidth(2pt)); label("(1)", (0.56,-1.54), SE*lsf); draw((4,2)--(4,1),linewidth(2pt)); draw((7,2)--(7,1),linewidth(2pt)); draw((4,2)--(7,2),linewidth(2pt)); draw((4,1)--(7,1),linewidth(2pt)); draw((6,0)--(6,3),linewidth(2pt)); draw((5,3)--(5,0),linewidth(2pt)); draw((5,0)--(6,0),linewidth(2pt)); draw((5,3)--(6,3),linewidth(2pt)); label("(2)", (5.13,-1.46), SE*lsf); draw((9,0)--(9,3),linewidth(2pt)); draw((10,3)--(10,0),linewidth(2pt)); draw((12,3)--(12,0),linewidth(2pt)); draw((11,0)--(11,3),linewidth(2pt)); draw((9,2)--(12,2),linewidth(2pt)); draw((12,1)--(9,1),linewidth(2pt)); draw((9,3)--(10,3),linewidth(2pt)); draw((11,3)--(12,3),linewidth(2pt)); draw((12,0)--(11,0),linewidth(2pt)); draw((9,0)--(10,0),linewidth(2pt)); label("(3)", (10.08,-1.48), SE*lsf); draw((14,1)--(17,1),linewidth(2pt)); draw((15,2)--(17,2),linewidth(2pt)); draw((15,2)--(15,0),linewidth(2pt)); draw((15,0)--(14,0)); draw((14,1)--(14,0),linewidth(2pt)); draw((16,2)--(16,0),linewidth(2pt)); label("(4)", (15.22,-1.5), SE*lsf); draw((14,0)--(16,0),linewidth(2pt)); draw((17,2)--(17,1),linewidth(2pt)); draw((19,3)--(19,0),linewidth(2pt)); draw((20,3)--(20,0),linewidth(2pt)); draw((20,3)--(19,3),linewidth(2pt)); draw((19,2)--(20,2),linewidth(2pt)); draw((19,1)--(20,1),linewidth(2pt)); draw((20,0)--(19,0),linewidth(2pt)); label("(5)", (19.11,-1.5), SE*lsf); dot((0,0),ds); dot((0,1),ds); dot((0,2),ds); dot((0,3),ds); dot((0,4),ds); dot((1,4),ds); dot((2,4),ds); dot((2,3),ds); dot((1,3),ds); dot((1,2),ds); dot((1,1),ds); dot((2,1),ds); dot((2,0),ds); dot((1,0),ds); dot((5,0),ds); dot((6,0),ds); dot((5,1),ds); dot((6,1),ds); dot((5,2),ds); dot((6,2),ds); dot((5,3),ds); dot((6,3),ds); dot((7,2),ds); dot((7,1),ds); dot((4,1),ds); dot((4,2),ds); dot((9,0),ds); dot((9,1),ds); dot((9,2),ds); dot((9,3),ds); dot((10,0),ds); dot((11,0),ds); dot((12,0),ds); dot((10,1),ds); dot((10,2),ds); dot((10,3),ds); dot((11,1),ds); dot((11,2),ds); dot((11,3),ds); dot((12,1),ds); dot((12,2),ds); dot((12,3),ds); dot((14,0),ds); dot((15,0),ds); dot((16,0),ds); dot((15,1),ds); dot((14,1),ds); dot((16,1),ds); dot((15,2),ds); dot((16,2),ds); dot((17,2),ds); dot((17,1),ds); dot((19,0),ds); dot((20,0),ds); dot((19,1),ds); dot((20,1),ds); dot((19,2),ds); dot((20,2),ds); dot((19,3),ds); dot((20,3),ds); clip((-0.41,-10.15)--(-0.41,8.08)--(21.25,8.08)--(21.25,-10.15)--cycle); [/asy] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 15 de ago. de 2008, 12:53 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario. Para un entero positivo dado $ k$, denote el cuadrado de la suma de sus dígitos por $ f_1(k)$ y sea $ f_{n+1}(k) = f_1(f_n(k)).$ Determine el valor de $ f_{1991}(2^{1990}).$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:17 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el número $\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n}$ es un cuadrado perfecto. Obviamente, $1$ es el menor entero que tiene esta propiedad. Encuentre los siguientes dos menores enteros que tienen esta propiedad. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:22 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 La función $f(n), n \in \mathbb N$ , se define de la siguiente manera: Sea $\frac{(2n)!}{n!(n+1000)!} = \frac{A(n)}{B(n)}$ , donde $A(n), B(n)$ son enteros positivos coprimos; si $B(n) = 1$ , entonces $f(n) = 1$ ; si $B(n) \neq 1$ , entonces $f(n)$ es el mayor factor primo de $B(n)$ . Demuestre que los valores de $f(n)$ son finitos y encuentre el valor máximo de $f(n).$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Fermat -Euler 444 publicaciones Fermat -Euler #1 h 2 de nov. de 2005, 8:03 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un plano corta un cono circular recto de volumen $ V$ en dos partes. El plano es tangente a la circunferencia de la base del cono y pasa por el punto medio de la altura. Encuentre el volumen de la parte más pequeña. Formulación original: Un plano corta un cono circular recto en dos partes. El plano es tangente a la circunferencia de la base del cono y pasa por el punto medio de la altura. Encuentre la razón entre el volumen de la parte más pequeña y el volumen del cono completo. Z K Y