En el plano, los puntos con coordenadas enteras son los vértices de cuadrados unitarios. Los cuadrados se colorean alternativamente de blanco y negro (como en un tablero de ajedrez). Para cualquier par de enteros positivos $ m$ y $ n$ , considere un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos, de longitudes $ m$ y $ n$ , se encuentran a lo largo de los bordes de los cuadrados. Sea $ S_1$ el área total de la parte negra del triángulo y $ S_2$ el área total de la parte blanca. Sea $ f(m,n) = | S_1 - S_2 |$ .\na) Calcule $ f(m,n)$ para todos los enteros positivos $ m$ y $ n$ que son ambos pares o ambos impares.\nb) Demuestre que $ f(m,n) \leq \frac 12 \max \{m,n \}$ para todos los $ m$ y $ n$ .\nc) Demuestre que no existe una constante $ C\in\mathbb{R}$ tal que $ f(m,n) < C$ para todos los $ m$ y $ n$ .

Sea $0\le x_{i,j} \le 1$, donde $i=1,2, \ldots m$ y $j=1,2, \ldots n$. Demuestre la desigualdad \[ \prod_{j=1}^n\left(1-\prod_{i=1}^mx_{i,j} \right)+ \prod_{i=1}^m\left(1-\prod_{j=1}^n(1-x_{i,j}) \right) \ge 1 \]

Las longitudes de los lados $a,b,c$ de un triángulo $ABC$ son enteros con $\gcd(a,b,c)=1$. La bisectriz del ángulo $BAC$ se encuentra con $BC$ en $D$. (a) demuestre que si los triángulos $DBA$ y $ABC$ son similares entonces $c$ es un cuadrado. (b) Si $c=n^2$ es un cuadrado $(n\ge 2)$, encuentre un triángulo $ABC$ que satisfaga (a).

Sea $P$ un punto dentro de un triángulo $ABC$, y $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ sean segmentos que pasan por $P$ y son paralelos a $AB, BC, CA$ respectivamente, donde los puntos $A_1, A_2$ están en $BC$, $B_1, B_2$ en $CA$ , y $C_1, C_2$ en $AB$. Demuestre que \[ \text{Area}(A_1A_2B_1B_2C_1C_2) \ge \frac{1}{2}\text{Area}(ABC)\]

Cada punto de un plano está coloreado de rojo o azul, no todos con el mismo color. ¿Se puede hacer esto de tal manera que, en cada circunferencia de radio 1, (a) haya exactamente un punto azul; (b) haya exactamente dos puntos azules?

Encuentre todos los números primos $ p,q < 2005$ tales que $ q | p^{2} + 8$ y $ p|q^{2} + 8.$

El punto interior $ X$ de un cuadrilátero es observable desde el lado $ YZ$ si la perpendicular a la línea $ YZ$ lo encuentra en el intervalo cerrado $ [YZ].$ El punto interior de un cuadrilátero es un punto $ k-$ si es observable desde exactamente $ k$ lados del cuadrilátero. Pruebe que si un cuadrilátero convexo tiene un 1-punto entonces tiene un punto $ k-$ para cada $ k=2,3,4.$

Para los números reales positivos $ a,b,c$ pruebe que \[ \frac c{a + 2b} + \frac d{b + 2c} + \frac a{c + 2d} + \frac b{d + 2a} \geq \frac 43.\ ]

Sea SABC una pirámide triangular regular. Encuentre el conjunto de todos los puntos $ D (D! = S)$ en el espacio que satisfacen la ecuación $ |cos ASD - 2cosBSD - 2 cos CSD| = 3$ .

Sea $ r$ un número real tal que la secuencia $ (a_{n})_{n\geq 1}$ de números reales positivos satisface la ecuación $ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{m + 1} \leq r a_{m}$ para cada entero positivo $ m$ . Pruebe que $ r \geq 4$ .