Pruebe que la ecuación $ x^{5} + 31 = y^{2}$ no tiene solución entera.

Encuentre todos los números primos $ p,q$ menores que 2005 y tales que $ q|p^2 + 4$ , $ p|q^2 + 4$ .

Sea el círculo $ (I; r)$ inscrito en el triángulo $ ABC$ . Sea $ D$ el punto de contacto de este círculo con $ BC$ . Sean $ E$ y $ F$ los puntos medios de $ BC$ y $ AD$ , respectivamente. Pruebe que los tres puntos $ I$ , $ E$ , $ F$ son colineales.

Para los números reales positivos $ a,b,c$ pruebe la desigualdad\n\[ \frac {c}{a + 2b} + \frac {a}{b + 2c} + \frac {b}{c + 2a}\ge1.\ ]

Sea $ A$ un conjunto de $ 2n$ puntos en el plano tal que no hay tres puntos colineales. Pruebe que para cualquier par de puntos distintos $ a,b\in A$ existe una línea que divide a $ A$ en dos subconjuntos, cada uno con $ n$ puntos y tal que $ a,b$ se encuentran en lados diferentes de la línea.

Sean $ m,n$ enteros tales que $ 0\le m\le 2n$ . Entonces pruebe que el número $ 2^{2n + 2} + 2^{m + 2} + 1$ es un cuadrado perfecto si y solo si $ m = n$ .

Los 40 cuadrados unitarios de la tabla de 9 x 9 (ver abajo) están etiquetados. La fila horizontal o vertical de 9 cuadrados unitarios es buena si tiene más cuadrados unitarios etiquetados que sin etiquetar. ¿Cuántas filas buenas (horizontales y verticales) en total podría tener la tabla?

Sea $ p$ un número primo impar. ¿Cuántos subconjuntos de $ p$ elementos $ A$ de $ \{1,2,\dots,2p\}$ hay, la suma de cuyos elementos es divisible por $ p$ ?

Sea $ ABCDEF$ un hexágono convexo con $ AB = BC = CD$ y $ DE = EF = FA$ , tal que $ \angle BCD = \angle EFA = \frac {\pi}{3}$ . Suponga que $ G$ y $ H$ son puntos en el interior del hexágono tales que $ \angle AGB = \angle DHE = \frac {2\pi}{3}$ . Demuestre que $ AG + GB + GH + DH + HE \geq CF$ .

Sea $ n$ un entero , $ n \geq 3.$ Sean $ x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales tales que $ x_i < x_{i+1}$ para $ 1 \leq i \leq n - 1$ . Demuestra que \[ \frac{n(n-1)}{2} \sum_{i < j} x_ix_j > \left(\sum^{n-1}_{i=1} (n-i)\cdot x_i \right) \cdot \left(\sum^{n}_{j=2} (j-1) \cdot x_j \right)\]