Determinar todos los enteros $ n > 3$ para los cuales existen $ n$ puntos $ A_{1},\cdots ,A_{n}$ en el plano, no tres colineales, y números reales $ r_{1},\cdots ,r_{n}$ tales que para $ 1\leq i < j < k\leq n$ , el área de $ \triangle A_{i}A_{j}A_{k}$ es $ r_{i} + r_{j} + r_{k}$ .

Sea $ \mathbb{Z}$ el conjunto de todos los enteros. Demostrar que para cualesquiera enteros $ A$ y $ B,$ se puede encontrar un entero $ C$ para el cual $ M_1 = \{x^2 + Ax + B : x \in \mathbb{Z}\}$ y $ M_2 = {2x^2 + 2x + C : x \in \mathbb{Z}}$ no se intersecan.

Sea $ k$ un entero positivo. Demostrar que existen infinitos cuadrados perfectos de la forma $ n \cdot 2^k - 7$ donde $ n$ es un entero positivo.

Las celdas de una matriz cuadrada de $2011 \times 2011$ están etiquetadas con los enteros $1,2,\ldots, 2011^2$ , de tal manera que cada etiqueta se usa exactamente una vez. Luego identificamos los bordes izquierdo y derecho, y luego la parte superior e inferior, de la manera normal para formar un toro (la superficie de una dona). Determine el entero positivo más grande $M$ tal que, sin importar qué etiquetado elijamos, existen dos celdas vecinas con la diferencia de sus etiquetas al menos $M$ . (Las celdas con coordenadas $(x,y)$ e $(x',y')$ se consideran vecinas si $x=x'$ e $y-y'\equiv\pm1\pmod{2011}$ , o si $y=y'$ e $x-x'\equiv\pm1\pmod{2011}$ . )

Para cada $n\geq 3$ , determine todas las configuraciones de $n$ puntos distintos $X_1,X_2,\ldots,X_n$ en el plano, con la propiedad de que para cualquier par de puntos distintos $X_i$ , $X_j$ existe una permutación $\sigma$ de los enteros $\{1,\ldots,n\}$ , tal que $\textrm{d}(X_i,X_k) = \textrm{d}(X_j,X_{\sigma(k)})$ para todo $1\leq k \leq n$ . (Escribimos $\textrm{d}(X,Y)$ para denotar la distancia entre los puntos $X$ e $Y$ . )

Dado un entero positivo $\displaystyle n = \prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i}$ , escribimos $\Omega(n)$ para el número total $\displaystyle \sum_{i=1}^s \alpha_i$ de factores primos de $n$ , contados con multiplicidad. Sea $\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}$ (entonces, por ejemplo, $\lambda(12)=\lambda(2^2\cdot3^1)=(-1)^{2+1}=-1$ ) . Demuestre las siguientes dos afirmaciones: i) Hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\lambda(n) = \lambda(n+1) = +1$ ; ii) Hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\lambda(n) = \lambda(n+1) = -1$ .

Un triángulo $ABC$ está inscrito en un círculo $\omega$ . Una línea variable $\ell$ elegida paralela a $BC$ se encuentra con los segmentos $AB$ , $AC$ en los puntos $D$ , $E$ respectivamente, y se encuentra con $\omega$ en los puntos $K$ , $L$ (donde $D$ se encuentra entre $K$ y $E$ ) . El círculo $\gamma_1$ es tangente a los segmentos $KD$ y $BD$ y también tangente a $\omega$ , mientras que el círculo $\gamma_2$ es tangente a los segmentos $LE$ y $CE$ y también tangente a $\omega$ . Determinar el lugar geométrico, a medida que $\ell$ varía, del punto de encuentro de las tangentes internas comunes a $\gamma_1$ y $\gamma_2$ .

Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales, con las siguientes propiedades: (1) para cada entero $k$ , el número $f(k)$ es un entero si y solo si $k$ no es divisible por $n$ ; (2) el grado de $f$ es menor que $n$ .

Demostrar que existen dos funciones $f,g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , tales que $f\circ g$ es estrictamente decreciente y $g\circ f$ es estrictamente creciente.

La expresión \[ \pm \Box \pm \Box \pm \Box \pm \Box \pm \Box \pm \Box \] está escrita en la pizarra. Dos jugadores, $ A $ y $ B $ , juegan un juego, turnándose. El jugador $ A $ toma el primer turno. En cada turno, el jugador en turno reemplaza un símbolo $ \Box $ por un entero positivo. Después de que todos los símbolos $\Box$ son reemplazados, el jugador $A$ reemplaza cada uno de los signos $\pm$ por + o -, independientemente uno del otro. El jugador $ A $ gana si el valor de la expresión en la pizarra no es divisible por ninguno de los números $ 11, 12, \cdots, 18 $ . De lo contrario, el jugador $ B$ gana. Determina qué jugador tiene una estrategia ganadora.