Los números del 1 al $ 2013^2 $ se escriben fila por fila en una tabla que consiste en $ 2013 \times 2013 $ celdas. Posteriormente, todas las columnas y todas las filas que contienen al menos uno de los cuadrados perfectos $ 1, 4, 9, \cdots, 2013^2 $ se eliminan simultáneamente. ¿Cuántas celdas permanecen?

Sea $K$ un punto dentro de un triángulo acutángulo $ ABC $ , tal que $ BC $ es una tangente común de las circunferencias circunscritas de $ AKB $ y $ AKC$ . Sea $ D $ la intersección de las líneas $ CK $ y $ AB $ , y sea $ E $ la intersección de las líneas $ BK $ y $ AC $ . Sea $ F $ la intersección de la línea $BC$ y la bisectriz perpendicular del segmento $DE$ . La circunferencia circunscrita de $ABC$ y el círculo $k$ con centro $ F$ y radio $FD$ se intersecan en los puntos $P$ y $Q$ . Demuestra que el segmento $PQ$ es un diámetro de $k$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Construye un triángulo $PQR$ tal que $ AB = 2PQ $ , $ BC = 2QR $ , $ CA = 2 RP $ , y las líneas $ PQ, QR,$ y $RP$ pasan a través de los puntos $ A, B , $ y $ C $ , respectivamente. (Todos los seis puntos $ A, B, C, P, Q, $ y $ R $ son distintos.)

Considera finitamente muchos puntos en el plano sin tres puntos en una línea. Todos estos puntos se pueden colorear de rojo o verde de tal manera que cualquier triángulo con vértices del mismo color contenga al menos un punto del otro color en su interior. ¿Cuál es el número máximo posible de puntos con esta propiedad?

Hay $n \ge 2$ casas en el lado norte de una calle. Yendo desde el oeste hacia el este, las casas están numeradas del 1 al $n$ . El número de cada casa se muestra en una placa. Un día los habitantes de la calle se burlan del cartero mezclando sus placas de números de la siguiente manera: para cada par de casas vecinas, las placas de números actuales se intercambian exactamente una vez durante el día. ¿Cuántas secuencias diferentes de placas de números son posibles al final del día?

Sean $ x, y, z, w $ números reales no nulos tales que $ x+y \ne 0$ , $ z+w \ne 0 $ , y $ xy+zw \ge 0 $ . Demuestra que \[ \left( \frac{x+y}{z+w} + \frac{z+w}{x+y} \right) ^{-1} + \frac{1}{2} \ge \left( \frac{x}{z} + \frac{z}{x} \right) ^{-1} + \left( \frac{y}{w} + \frac{w}{y} \right) ^{-1}\]

Encuentra todas las funciones $ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ tales que \[ f( xf(x) + 2y) = f(x^2)+f(y)+x+y-1 \] se cumple para todo $ x, y \in \mathbb{R}$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $BA\neq BC$. Denotemos los incírculos de los triángulos $ABC$ y $ADC$ por $ \omega_{1}$ y $ \omega_{2}$ respectivamente. Suponga que existe un círculo $ \omega$ tangente al rayo $BA$ más allá de $A$ y al rayo $BC$ más allá de $C$, que también es tangente a las líneas $AD$ y $CD$. Demuestre que las tangentes externas comunes a $ \omega_{1}$ y $ \omega_{2}$ se intersecan en $ \omega$.

Sean $n$ y $k$ enteros positivos con $k \geq n$ y $k - n$ un número par. Se dan $2n$ lámparas etiquetadas $1$, $2$, ..., $2n$, cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Consideramos secuencias de pasos: en cada paso se conmuta una de las lámparas (de encendida a apagada o de apagada a encendida). Sea $N$ el número de tales secuencias que consisten en $k$ pasos y que resultan en el estado donde las lámparas $1$ a $n$ están todas encendidas, y las lámparas $n + 1$ a $2n$ están todas apagadas. Sea $M$ el número de tales secuencias que consisten en $k$ pasos, que resultan en el estado donde las lámparas $1$ a $n$ están todas encendidas, y las lámparas $n + 1$ a $2n$ están todas apagadas, pero donde ninguna de las lámparas $n + 1$ a $2n$ se enciende nunca. Determine $ \frac {N}{M}$ .

Encuentre todas las funciones $ f: (0, \infty) \mapsto (0, \infty)$ (de modo que $f$ es una función de los números reales positivos) tales que \[ \frac {\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f(y^2) + f(z^2) } = \frac {w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] para todos los números reales positivos $ w,x,y,z,$ que satisfacen $ wx = yz.$