Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $n^{2} + 1$ tiene un divisor primo mayor que $2n + \sqrt {2n}$.

(a) Demuestre que \[\frac {x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac {y^{2}}{\left(y - 1\right)^{2}} + \frac {z^{2}}{\left(z - 1\right)^{2}} \geq 1\] para todos los números reales $x$, $y$, $z$, cada uno diferente de $1$, y que satisfacen $xyz=1$. \n(b) Demuestre que la igualdad se cumple arriba para infinitas ternas de números racionales $x$, $y$, $z$, cada uno diferente de $1$, y que satisfacen $xyz=1$.

Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$. La circunferencia $ \Gamma_{A}$ con centro en el punto medio de $BC$ y que pasa por $H$ interseca al lado $BC$ en los puntos $A_{1}$ y $A_{2}$. Similarmente, se definen los puntos $B_{1}$, $B_{2}$, $C_{1}$ y $C_{2}$. Demuestre que los seis puntos $A_{1}$, $A_{2}$, $B_{1}$, $B_{2}$, $C_{1}$ y $C_{2}$ son concíclicos.

Cuando los números naturales se escriben uno tras otro de manera creciente, se obtiene una sucesión infinita de dígitos $123456789101112 ....$ Denotamos $A_k$ el número formado por los primeros $k$ dígitos de esta secuencia. Demostrar que para todo entero positivo $n$ existe un entero positivo $m$ que verifica simultáneamente las siguientes tres condiciones: (i) $n$ divide a $A_m$, (ii) $n$ divide a $m$, (iii) $n$ divide a la suma de los dígitos de $A_m$.

Inicialmente se tiene el número $0$ en cada celda de la tabla $29 \times 29$. Un movimiento es cuando uno elige una sub-tabla $5 \times 5$ y suma $+1$ a cada celda de esta sub-tabla. Encontrar el valor máximo de $n$, donde después de $1000$ movimientos, hay $4$ celdas tales que sus centros son vértices de un cuadrado y la suma de estas $4$ celdas es al menos $n$. Nota: Un cuadrado no tiene, necesariamente, sus lados paralelos con los lados de la tabla.

Sea $c > 1$ un número real. Una función $f: [0 ,1 ] \to R$ se llama c-amigable si $f(0) = 0, f(1) = 1$ y $|f(x) -f(y)| \le c|x - y|$ para todos los números $x ,y \in [0,1]$. Encontrar el máximo de la expresión $|f(x) - f(y)|$ para todas las funciones c-amigables $f$ y para todos los números $x,y \in [0,1]$.

Sea $A B C$ un triángulo acutángulo de circuncentro $O$ y ortocentro $H$. Sea $M$ el punto medio de $BC, N$ el simétrico de $H$ con respecto a $A, P$ el punto medio de $NM$ y $X$ un punto en la línea A H tal que $MX$ es paralelo a $CH$. Demostrar que $BX$ y $OP$ son perpendiculares.

Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen números reales positivos $x,y$ y $z$ tales que $\sqrt x +\sqrt y +\sqrt z=1$ y $\sqrt{x+n} +\sqrt{y+n} +\sqrt{z+n}$ es un entero.

Ana y Beto juegan uno contra otro. Inicialmente, Ana elige un entero no negativo $N$ y se lo anuncia a Beto. Luego Beto escribe una sucesión de $2016$ números, $1008$ de ellos iguales a $1$ y $1008$ de ellos iguales a $-1$. Una vez hecho esto, Ana debe dividir la sucesión en varios bloques de términos consecutivos (cada término pertenece a exactamente un bloque), y calcular la suma de los números de cada bloque. Finalmente, sumar los cuadrados de los números calculados. Si esta suma es igual a $N$, Ana gana. Si no, Beto gana. Determinar todos los valores de $N$ para los cuales Ana puede asegurar la victoria, sin importar cómo juegue Beto.

Sea $K$ un polígono convexo en el plano y supón que $K$ está posicionado en el sistema de coordenadas de tal manera que \n\[\text{área } (K \cap Q_i) =\frac 14 \text{área } K \ (i = 1, 2, 3, 4, ),\] donde los $Q_i$ denotan los cuadrantes del plano. Demuestra que si $K$ no contiene ningún punto reticular no nulo, entonces el área de $K$ es menor que $4.$