La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 31 de oct. de 2010, 8:18 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un triángulo $ABC$ con $BC = CA + \frac 12 AB$ , se da un punto $P$ en el lado $AB$ tal que $BP : PA = 1 : 3$ . Demuestre que $\angle CAP = 2 \angle CPA.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 31 de oct. de 2010, 8:22 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $a, b, c$ números no negativos tales que $a+b+c = 3$. Demuestre la desigualdad \[\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1} \geq \frac 32.\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 31 de oct. de 2010, 7:45 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario más Demuestre que la ecuación $x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z + 1$ no tiene soluciones racionales. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. erdugan 47 publicaciones erdugan #1 h 16 de mar. de 2009, 12:50 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Considere un sistema de infinitas esferas hechas de metal, con centros en los puntos $(a, b, c) \in \mathbb Z^3$. Decimos que el sistema es estable si la temperatura de cada esfera es igual al promedio de la temperatura de las seis esferas más cercanas. Suponiendo que todas las esferas en un sistema estable tienen temperaturas entre $0^\circ C$ y $1^\circ C$, demuestre que todas las esferas tienen la misma temperatura. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 13 de ago. de 2008, 12:00 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ \alpha(n)$ el número de dígitos iguales a uno en la representación binaria de un entero positivo $ n.$ Demuestre que: (a) la desigualdad $ \alpha(n^2) \leq \frac{1}{2} \alpha(n)(\alpha(n) + 1)$ se cumple; (b) la desigualdad anterior es una igualdad para infinitos enteros positivos, y (c) existe una sucesión $ (n_i )^{\infty}_1$ tal que $ \frac{\alpha ( n^2_i )}{\alpha (n_i )}$ tiende a cero cuando $ i$ tiende a $ \infty.$ Problema alternativo: Demuestre que existe una sucesión $ (n_i )^{\infty}_1$ tal que $ \frac{\alpha ( n^2_i )}{\alpha (n_i )}$ tiende a: (d) $ \infty;$ (e) un número real arbitrario $ \gamma \in (0,1)$ ; (f) un número real arbitrario $ \gamma \geq 0$ ; cuando $ i$ tiende a $ \infty.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 13 de agosto de 2008, 7:53 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 ¿Existe un conjunto $ M$ con las siguientes propiedades? (i) El conjunto $ M$ consta de 1992 números naturales. (ii) Cada elemento en $ M$ y la suma de cualquier cantidad de elementos tienen la forma $ m^k$ $ (m, k \in \mathbb{N}, k \geq 2).$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Peter 3615 publicaciones Peter #1 h 24 de mayo de 2007, 7:24 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ es un número compuesto. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 13 de agosto de 2008, 12:10 PM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, deraxenrovalo Sea $ \lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $ x.$ Elija cualquier $ x_1$ en $ [0, 1)$ y defina la sucesión $ x_1, x_2, x_3, \ldots$ mediante $ x_{n+1} = 0$ si $ x_n = 0$ y $ x_{n+1} = \frac{1}{x_n} - \left \lfloor \frac{1}{x_n} \right \rfloor$ en caso contrario. Demuestre que \[ x_1 + x_2 + \ldots + x_n < \frac{F_1}{F_2} + \frac{F_2}{F_3} + \ldots + \frac{F_n}{F_{n+1}},\] donde $ F_1 = F_2 = 1$ y $ F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ para $ n \geq 1.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 13 de agosto de 2008, 12:07 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ f(x) = x^8 + 4x^6 + 2x^4 + 28x^2 + 1.$ Sea $ p > 3$ un número primo y suponga que existe un entero $ z$ tal que $ p$ divide a $ f(z).$ Demuestre que existen enteros $ z_1, z_2, \ldots, z_8$ tales que si \[ g(x) = (x - z_1)(x - z_2) \cdot \ldots \cdot (x - z_8),\] entonces todos los coeficientes de $ f(x) - g(x)$ son divisibles por $ p.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 13 de ago. de 2008, 7:47 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ f, g$ y $ a$ polinomios con coeficientes reales, $ f$ y $ g$ en una variable y $ a$ en dos variables. Suponga que \[ f(x) - f(y) = a(x, y)(g(x) - g(y)) \forall x,y \in \mathbb{R}\] Demuestre que existe un polinomio $ h$ tal que $ f(x) = h(g(x)) \text{ } \forall x \in \mathbb{R}.$ Z K Y