Sean $f(x) = ax^2 + bx+ c$ y $g(x) = cx^2 + bx + a$ . Si $|f(0)| \leq 1, |f(1)| \leq 1, |f(-1)| \leq 1$ , demuestra que para $|x| \leq 1$ , (a) $|f(x)| \leq 5/4$ , (b) $|g(x)| \leq 2$ .

Sea $S$ un cuadrado con lados de longitud $100$ . Sea $L$ un camino dentro de $S$ que no se cruza a sí mismo y que está compuesto por segmentos de recta $A_0A_1,A_1A_2,A_2A_3,\ldots,A_{n-1}A_n$ con $A_0=A_n$ . Supón que para cada punto $P$ en el borde de $S$ existe un punto de $L$ a una distancia de $P$ no mayor que $\frac {1} {2}$ . Demuestra que existen dos puntos $X$ e $Y$ de $L$ tales que la distancia entre $X$ e $Y$ no es mayor que $1$ y la longitud de la parte de $L$ que se encuentra entre $X$ e $Y$ no es menor que $198$ .

Los triángulos rectángulos $ABC$ y $AB_1C_1$ son semejantes y tienen orientación opuesta. Los ángulos rectos están en $C$ y $C_1$ , y también tenemos $ \angle CAB = \angle C_1AB_1$ . Sea $M$ el punto de intersección de las rectas $BC_1$ y $B_1C$ . Demuestra que si las rectas $AM$ y $CC_1$ existen, son perpendiculares.

Considera las sucesiones infinitas $\{x_n\}$ de números reales positivos tales que $x_0=1$ y $x_0\ge x_1\ge x_2\ge\ldots$ . \na) Demuestra que para cada sucesión de este tipo existe un $n\ge1$ tal que: \n\[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}\ge3.999. \]\nb) Encuentra una sucesión de este tipo tal que para todo $n$ : \n\[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}<4. \]

Se nos dan $2n$ números naturales \[1, 1, 2, 2, 3, 3, \ldots, n - 1, n - 1, n, n.\] Encuentre todos los $n$ para los cuales estos números se pueden organizar en una fila de tal manera que para cada $k \leq n$ , haya exactamente $k$ números entre los dos números $k$ .

Sean n números $x_1, x_2, \ldots, x_n$ elegidos de tal manera que $1 \geq x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_n \geq 0$ . Demuestre que \[(1 + x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^\alpha \leq 1 + x_1^\alpha+ 2^{\alpha-1}x_2^\alpha+ \cdots+ n^{\alpha-1}x_n^\alpha\] si $0 \leq \alpha \leq 1$ .

Sea $O$ el punto medio del eje de un cilindro circular recto. Sean $A$ y $B$ puntos diametralmente opuestos de una base, y $C$ un punto del otro círculo base que no pertenece al plano $OAB$ . Demuestre que la suma de los ángulos diedros del triedro $OABC$ es igual a $2\pi$ .

Simplificar \[\sum_{k=0}^n \frac{(2n)!}{(k!)^2((n-k)!)^2}.\]

Dada una secuencia finita de números complejos $c_1, c_2, \ldots , c_n$ , demuestre que existe un entero $k$ ( $1 \leq k \leq n$ ) tal que para cada secuencia finita $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de números reales con $1 \geq a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \geq 0$ , se cumple la siguiente desigualdad: \[\left| \sum_{m=1}^n a_mc_m \right| \leq \left| \sum_{m=1}^k c_m \right|.\]

Evalúe $\sec'' \frac{\pi}4 +\sec'' \frac{3\pi}4+\sec'' \frac{5\pi}4+\sec'' \frac{7\pi}4$ . (Aquí $\sec''$ significa la segunda derivada de $\sec$ ).