Demuestre que si se dibuja una diagonal en un cuadrilátero inscrito en un círculo, la suma de los radios de los círculos inscritos en los dos triángulos así formados es la misma, sin importar qué diagonal se dibuje.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y dibuje triángulos regulares $ABM, CDP, BCN, ADQ$, los dos primeros hacia afuera y los otros dos hacia adentro. Pruebe que $MN = AC$. ¿Qué se puede decir sobre el cuadrilátero $MNPQ$?

Sean $A$ y $B$ las posiciones de dos barcos $M$ y $N$, respectivamente, en el momento en que $N$ vio a $M$ moverse con velocidad constante $v$ siguiendo la línea $Ax$. En busca de ayuda, $N$ se mueve con velocidad $kv$ ( $k < 1$ ) a lo largo de la línea $By$ para encontrarse con $M$ lo antes posible. Denote por $C$ el punto de encuentro de los dos barcos, y establezca \[AB = d, \angle BAC = \alpha, 0 \leq \alpha < \frac{\pi}{2}.\] Determine el ángulo $\angle ABC = \beta$ y el tiempo $t$ que $N$ necesita para encontrarse con $M$.

¿Cuál es el número máximo de ángulos agudos en un polígono convexo?

Sea $\mathfrak F$ la familia de todos los subconjuntos de $k$ elementos del conjunto $\{1, 2, \ldots, 2k + 1\}$. Demuestra que existe una función biyectiva $f :\mathfrak F \to \mathfrak F$ tal que para cada $A \in \mathfrak F$, los conjuntos $A$ y $f(A)$ son disjuntos.

Una figura convexa y cerrada se encuentra dentro de un círculo dado. La figura se ve desde cada punto de la circunferencia en ángulo recto (es decir, los dos rayos trazados desde el punto y que sostienen la figura convexa son perpendiculares). Demuestra que el centro del círculo es un centro de simetría de la figura.

Consideramos un juego en un tablero de ajedrez infinito similar al del solitario: Si dos campos adyacentes están ocupados por peones y el siguiente campo está vacío (los tres campos se encuentran en una línea vertical u horizontal), entonces podemos quitar estos dos peones y colocar uno de ellos en el tercer campo. Demuestra que si en la posición inicial los peones llenan un rectángulo de $3k \times n$, entonces es imposible alcanzar una posición con un solo peón en el tablero.

Sea $S$ el círculo unitario con centro $O$ y sean $P_1, P_2,\ldots, P_n$ puntos de $S$ tales que la suma de los vectores $v_i=\stackrel{\longrightarrow}{OP_i}$ es el vector cero. Demuestra que la desigualdad $\sum_{i=1}^n XP_i \geq n$ se cumple para cada punto $X$.

Se definen los números $u_{n,k} \ (1\leq k \leq n)$ como sigue: \[u_{1,1}=1, \quad u_{n,k}=\binom{n}{k} - \sum_{d \mid n, d \mid k, d>1} u_{n/d, k/d}.\] (se define la suma vacía como igual a cero). Demuestra que $n \mid u_{n,k}$ para cada número natural $n$ y para cada $k \ (1 \leq k \leq n).$

Las diagonales $AC$ y $CE$ del hexágono regular $ABCDEF$ están divididas por los puntos interiores $M$ y $N$ respectivamente, de modo que \[ {AM\over AC}={CN\over CE}=r. \] Determine $r$ si $B,M$ y $N$ son colineales.