Un triángulo no isósceles $A_{1}A_{2}A_{3}$ tiene lados $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ con el lado $a_{i}$ opuesto al vértice $A_{i}$ . Sea $M_{i}$ el punto medio del lado $a_{i}$ , y sea $T_{i}$ el punto donde el círculo inscrito del triángulo $A_{1}A_{2}A_{3}$ toca el lado $a_{i}$ . Denotemos por $S_{i}$ la reflexión del punto $T_{i}$ en la bisectriz del ángulo interior del ángulo $A_{i}$ . Demuestre que las líneas $M_{1}S_{1}$ , $M_{2}S_{2}$ y $M_{3}S_{3}$ son concurrentes.

Si el inradio de un triángulo es la mitad de su circunradio, demuestre que el triángulo es equilátero.

Sea $M$ el conjunto de todas las funciones $f$ con las siguientes propiedades: (i) $f$ está definida para todos los números reales y toma solo valores reales. (ii) Para todos $x, y \in \mathbb R$ la siguiente igualdad se cumple: $f(x)f(y) = f(x + y) + f(x - y).$ (iii) $f(0) \neq 0.$ Determine todas las funciones $f \in M$ tales que (a) $f(1)=\frac 52$ , (b) $f(1)= \sqrt 3$ .

La función $f(n)$ está definida en los enteros positivos y toma valores enteros no negativos. $f(2)=0, f(3)>0, f(9999)=3333$ y para todos $m,n:$ \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ o } 1. \] Determine $f(1982)$ .

Pruebe que si $n$ es un entero positivo tal que la ecuación $ x^3-3xy^2+y^3=n $ tiene una solución en enteros $x,y$, entonces tiene al menos tres soluciones de este tipo. Demuestre que la ecuación no tiene soluciones en enteros para $n=2891$.

Sea $ABC$ un triángulo, y sea $P$ un punto en su interior tal que $\angle PAC = \angle PBC$. Las perpendiculares desde $P$ a $BC$ y $CA$ se encuentran con estas líneas en $L$ y $M$, respectivamente, y $D$ es el punto medio de $AB$. Demuestre que $DL = DM.$

Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función continua. Suponga que la restricción de $f$ al conjunto de los números irracionales es inyectiva. ¿Qué podemos decir sobre $f$? Responda a la pregunta análoga si $f$ está restringida a los racionales.

Sea $(u_1, \ldots, u_n)$ una $n$-tupla ordenada. Para cada $k, 1 \leq k \leq n$, defina $v_k=\sqrt[k]{u_1u_2 \cdots u_k}$. Pruebe que $\sum_{k=1}^n v_k \leq e \cdot \sum_{k=1}^n u_k$. ( $e$ es la base del logaritmo natural).

Sea $O$ un punto del espacio tridimensional y sean $l_1, l_2, l_3$ rectas mutuamente perpendiculares que pasan por $O$. Sea $S$ la esfera con centro $O$ y radio $R$, y para cada punto $M$ de $S$, sea $S_M$ la esfera con centro $M$ y radio $R$. Denotamos por $P_1, P_2, P_3$ la intersección de $S_M$ con las rectas $l_1, l_2, l_3$, respectivamente, donde ponemos $P_i \neq O$ si $l_i$ se encuentra con $S_M$ en dos puntos distintos y $P_i = O$ en caso contrario ( $i = 1, 2, 3$ ). ¿Cuál es el conjunto de centros de gravedad de los triángulos (posiblemente degenerados) $P_1P_2P_3$ cuando $M$ recorre los puntos de $S$?

Sean $(a_n)_{n\geq0}$ y $(b_n)_{n \geq 0}$ dos secuencias de números naturales. Determine si existe un par $(p, q)$ de números naturales que satisfagan\n\[p < q \quad \text{ y } \quad a_p \leq a_q, b_p \leq b_q.\]