Se dan cuatro círculos distintos $C,C_1, C_2$ , $C_3$ y una línea $L$ en el plano tales que $C$ y $L$ son disjuntos y cada uno de los círculos $C_1, C_2, C_3$ toca a los otros dos, así como a $C$ y $L$ . Asumiendo que el radio de $C$ es $1$ , determine la distancia entre su centro y $L$.

Demuestre que si una persona $a$ tiene infinitos descendientes (hijos, sus hijos, etc.), entonces $a$ tiene una secuencia infinita $a_0, a_1, \ldots$ de descendientes (es decir, $a = a_0$ y para todo $n \geq 1, a_{n+1}$ es siempre un hijo de $a_n$ ) . Se asume que nadie puede tener infinitos hijos. Variante 1 . Demuestre que si $a$ tiene infinitos ancestros, entonces $a$ tiene una secuencia descendente infinita de ancestros (es decir, $a_0, a_1, \ldots$ donde $a = a_0$ y $a_n$ es siempre un hijo de $a_{n+1}$ ) . Variante 2. Demuestre que si alguien tiene infinitos ancestros, entonces todas las personas no pueden descender de $A(dán)$ y $E(va)$ .

Determine la suma de todos los enteros positivos cuyos dígitos (en base diez) forman una secuencia estrictamente creciente o una secuencia estrictamente decreciente.

Sea $M$ el conjunto de números reales de la forma $\frac{m+n}{\sqrt{m^2+n^2}}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Demuestre que para cada par $x \in M, y \in M$ con $x < y$ , existe un elemento $z \in M$ tal que $x < z < y$.

Todos los bordes y todas las diagonales del hexágono regular $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ están coloreados de azul o rojo de tal manera que cada triángulo $A_jA_kA_m, 1 \leq j < k < m\leq 6$ tiene al menos un borde rojo. Sea $R_k$ el número de segmentos rojos $A_kA_j, (j \neq k)$ . Demuestre la desigualdad \[\sum_{k=1}^6 (2R_k-7)^2 \leq 54.\]

Considere un cubo $C$ y dos planos $\sigma, \tau$ , que dividen el espacio euclidiano en varias regiones. Demuestre que el interior de al menos una de estas regiones se encuentra con al menos tres caras del cubo.

Demuestre que \[ \frac{1 - s^a}{1 - s} \leq (1 + s)^{a-1}\] se cumple para todo $1 \neq s > 0$ real y $0 < a \leq 1$ racional.

Se le da un sistema algebraico que admite la adición y la multiplicación para el cual todas las leyes de la aritmética ordinaria son válidas excepto la conmutatividad de la multiplicación. Demuestre que \[(a + ab^{-1} a)^{-1}+ (a + b)^{-1} = a^{-1},\] donde $x^{-1}$ es el elemento para el cual $x^{-1}x = xx^{-1} = e$ , donde $e$ es el elemento del sistema tal que para todo $a$ la igualdad $ea = ae = a$ se cumple.

Encuentra la reordenación $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Encuentra la reordenación que minimiza $Q.$

Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes enteros con coeficiente principal $1$ y con una de sus raíces igual al producto de las otras dos. Demuestre que $2p(-1)$ es un múltiplo de $p(1)+p(-1)-2(1+p(0)).$