La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. aleksam 101 publicaciones aleksam #1 h 5 de sep. de 2017, 8:22 a. m. • 4 Y Y por Lam.DL.01, dooo203, Adventure10, Mango247 Sea $Q$ un polinomio cuadrático que tiene dos ceros reales distintos. Demuestre que existe un polinomio mónico no constante $P$ tal que todos los coeficientes del polinomio $Q(P(x))$, excepto el principal, son (en valor absoluto) menores que $0.001$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 27 de noviembre de 2022, 8:03 a. m. • 1 Y Y por Mango247 Se dice que un número es triangular si puede expresarse de la forma $1 + 2 +...+n$ para algún entero positivo $n$. Llamamos a un entero positivo $a$ retriangular si existe un entero positivo fijo $b$ tal que $aT +b$ es un número triangular siempre que $T$ sea un número triangular. Determine todos los números retriangulares. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 27 de noviembre de 2022, 8:03 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 27 de noviembre de 2022, 8:00 a. m. Y por A Un entero positivo se llama sabroso si, al sumarlo al número obtenido cuando sus dígitos se intercambian de un lado a otro de su forma escrita, el resultado es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, $143$ es sabroso, ya que $143 + 341 = 484 = 22^2$. Encuentre todos los números sabrosos de dos dígitos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Demetres 451 publicaciones Demetres #1 h 23 de feb. de 2022, 6:50 a. m. • 1 Y Y por cubres Sean $n, m$ enteros positivos tales que \[n(4n+1)=m(5m+1)\] (a) Demuestre que la diferencia $n-m$ es un cuadrado perfecto de un entero positivo. (b) Encuentre un par de enteros positivos $(n, m)$ que satisfaga la relación anterior. Parte adicional (no solicitada en el TST): Encuentre todos los pares $(n,m)$ de este tipo. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 17 de mar. de 2018, 3:33 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, mxsail Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demuestre la desigualdad $$(a+b)\sqrt{ab}+(a+c)\sqrt{ac}+(b+c)\sqrt{bc} \geq (a+b+c)^2/2.$$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Demetres 451 publicaciones Demetres #1 h 23 de feb. de 2022, 6:57 a. m. • 1 Y Y por User768799 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sea $(c)$ su circunferencia circunscrita con centro $O$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. La recta $AM$ corta a la circunferencia $(c)$ nuevamente en el punto $D$. La circunferencia circunscrita $(c_1)$ del triángulo $\triangle MDC$ corta a la recta $AC$ en los puntos $C$ e $I$, y la circunferencia circunscrita $(c_2)$ del triángulo $\triangle AMI$ corta a la recta $AB$ en los puntos $A$ y $Z$. Si $N$ es el pie de la perpendicular desde $B$ hacia $AC$, y $P$ es el segundo punto de intersección de $ZN$ con $(c_2)$, demuestre que el cuadrilátero con vértices en los puntos $N, P, I$ y $M$ es un paralelogramo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. liyi 1633 publicaciones liyi #1 h 26 de octubre de 2003, 6:55 a. m. • 3 Y Y por nguyendangkhoa17112003, Adventure10, Mango247 Un cuadrilátero convexo tiene diagonales iguales. Se construye un triángulo equilátero en el exterior de cada lado del cuadrilátero. Se unen los centros de los triángulos en los lados opuestos. Demuestre que las dos líneas de unión son perpendiculares. Formulación alternativa. Dado un cuadrilátero convexo $ ABCD$ con diagonales congruentes $ AC = BD.$ Se erigen externamente cuatro triángulos regulares sobre sus lados. Demuestre que los segmentos que unen los centroides de los triángulos en los lados opuestos son perpendiculares entre sí. Formulación original: Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $ AC = BD.$ Se construyen triángulos equiláteros sobre los lados del cuadrilátero. Sean $ O_1,O_2,O_3,O_4$ los centros de los triángulos construidos sobre $ AB,BC,CD,DA$ respectivamente. Demuestre que $ O_1O_3$ es perpendicular a $ O_2O_4.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 17 de mar. de 2018, 3:28 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, mxsail Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $\angle BCD=90^\circ$. Sea $E$ el punto medio de $AB$. Demuestre que $2EC \leqslant AD+BD$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 1 de julio de 2018, 5:00 AM • 2 Y Y por Geoff Smith, Adventure10 Sea $\Lambda= \{1, 2, \ldots, 2v-1,2v\}$ y $P=\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{2v-1}, \alpha_{2v}\}$ una permutación de los elementos de $\Lambda$. (a) Demuestre que $$\sum_{i=1}^v \alpha_{2i-1}\alpha_{2i} \leq \sum_{i=1}^v (2i-1)2i.$$ (b) Determine el entero positivo $m$ más grande tal que podamos particionar el cuadrado de $m\times m$ en $7$ rectángulos para los cuales ningún par de ellos tenga puntos interiores comunes y sus longitudes y anchos formen la siguiente sucesión: $$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14.$$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. tenplusten 1000 publicaciones tenplusten #1 h 6 de sep. de 2017, 7:14 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre el mayor entero positivo $N$ para el cual se pueden elegir $N$ números distintos del conjunto $\{1,2,3,...,100\}$ tales que ni la suma ni el producto de cualesquiera dos números elegidos distintos sea divisible por $100$. Propuesto por Mikhail Evdokimov Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por tenplusten, 6 de sep. de 2017, 7:27 a. m. Z K Y