La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 27 de noviembre de 2022, 8:03 a. m. • 1 Y Y por Mango247 Se dice que un número es triangular si puede expresarse de la forma $1 + 2 +...+n$ para algún entero positivo $n$. Llamamos a un entero positivo $a$ retriangular si existe un entero positivo fijo $b$ tal que $aT +b$ es un número triangular siempre que $T$ sea un número triangular. Determine todos los números retriangulares. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 27 de noviembre de 2022, 8:03 a. m. Z K Y

Hay niños y niñas en la clase. El profesor los ha sentado en pupitres de tal manera que hay tantos pares niño-niña como pares niño-niño, y el doble de pares niña-niña que de pares niño-niño. Demuestre que esta clase puede sentarse en pupitres de tal manera que haya tres veces menos pares niña-niña que pares niño-niña.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 1 de julio de 2018, 5:00 AM • 2 Y Y por Geoff Smith, Adventure10 Sea $\Lambda= \{1, 2, \ldots, 2v-1,2v\}$ y $P=\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{2v-1}, \alpha_{2v}\}$ una permutación de los elementos de $\Lambda$. (a) Demuestre que $$\sum_{i=1}^v \alpha_{2i-1}\alpha_{2i} \leq \sum_{i=1}^v (2i-1)2i.$$ (b) Determine el entero positivo $m$ más grande tal que podamos particionar el cuadrado de $m\times m$ en $7$ rectángulos para los cuales ningún par de ellos tenga puntos interiores comunes y sus longitudes y anchos formen la siguiente sucesión: $$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14.$$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 27 de noviembre de 2022, 8:00 a. m. Y por A Un entero positivo se llama sabroso si, al sumarlo al número obtenido cuando sus dígitos se intercambian de un lado a otro de su forma escrita, el resultado es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, $143$ es sabroso, ya que $143 + 341 = 484 = 22^2$. Encuentre todos los números sabrosos de dos dígitos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ThE-dArK-lOrD 4072 publicaciones ThE-dArK-lOrD #1 h 26 de feb. de 2018, 7:40 a. m. • 2 Y Y por Rounak_iitr, Adventure10 Determine todos los polinomios $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ que satisfacen las siguientes dos condiciones: (a) $P(2017)=2016$ y (b) $(P(x)+1)^2=P(x^2+1)$ para todo número real $x$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por ThE-dArK-lOrD, 28 de feb. de 2018, 1:49 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. pj294 26 publicaciones pj294 #1 h 19 de febrero de 2019, 4:14 PM • 2 Y Y por Abduhakim, Adventure10 Sea $n$ cualquier entero positivo y $M$ un conjunto que contiene $n$ enteros positivos. Una sucesión con $2^n$ elementos es "navideña" si cada elemento de la sucesión es un elemento de $M$. Demuestre que, en cualquier sucesión navideña, existen algunos elementos sucesivos cuyo producto es un cuadrado perfecto. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 17 de mar. de 2018, 3:28 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, mxsail Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $\angle BCD=90^\circ$. Sea $E$ el punto medio de $AB$. Demuestre que $2EC \leqslant AD+BD$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 17 de mar. de 2018, 3:33 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, mxsail Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demuestre la desigualdad $$(a+b)\sqrt{ab}+(a+c)\sqrt{ac}+(b+c)\sqrt{bc} \geq (a+b+c)^2/2.$$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 17 de mar. de 2018, 3:25 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, mxsail Llamamos centroide de un cuadrilátero $PQRS$ al punto común de las dos rectas que pasan por los puntos medios de sus lados opuestos. Suponga que $ABCDEF$ es un hexágono inscrito en el círculo $\Omega$ centrado en $O$. Sean $AB=DE$ y $BC=EF$. Sean $X$, $Y$ y $Z$ los centroides de $ABDE$, $BCEF$ y $CDFA$, respectivamente. Demuestre que $O$ es el ortocentro del triángulo $XYZ$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Demetres 451 publicaciones Demetres #1 h 23 de feb. de 2022, 6:57 a. m. • 1 Y Y por User768799 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sea $(c)$ su circunferencia circunscrita con centro $O$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. La recta $AM$ corta a la circunferencia $(c)$ nuevamente en el punto $D$. La circunferencia circunscrita $(c_1)$ del triángulo $\triangle MDC$ corta a la recta $AC$ en los puntos $C$ e $I$, y la circunferencia circunscrita $(c_2)$ del triángulo $\triangle AMI$ corta a la recta $AB$ en los puntos $A$ y $Z$. Si $N$ es el pie de la perpendicular desde $B$ hacia $AC$, y $P$ es el segundo punto de intersección de $ZN$ con $(c_2)$, demuestre que el cuadrilátero con vértices en los puntos $N, P, I$ y $M$ es un paralelogramo. Z K Y