Demuestre que el conjunto $S$ de números naturales $n$ para los cuales $\frac{3}{n}$ no se puede escribir como la suma de dos recíprocos de números naturales ( $S =\left\{n |\frac{3}{n} \neq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \text{ para cualquier } p, q \in \mathbb N \right\}$ ) no es la unión de un número finito de progresiones aritméticas.

Determine todos los valores reales del parámetro $a$ para los cuales la ecuación $16x^4 -ax^3 + (2a + 17)x^2 -ax + 16 = 0$ tiene exactamente cuatro raíces reales distintas que forman una progresión geométrica.

Una pirámide truncada $n$ - gonal regular está circunscrita alrededor de una esfera. Denote las áreas de la base y las superficies laterales de la pirámide por $S_1, S_2$ , y $S$ , respectivamente. Sea $\sigma$ el área del polígono cuyos vértices son los puntos tangenciales de la esfera y las caras laterales de la pirámide. Demuestre que $\sigma S = 4S_1S_2 \cos^2 \frac{\pi}{n}.$

Sean $3399$ números elegidos arbitrariamente entre los primeros $6798$ enteros $1, 2, \ldots , 6798$ de tal manera que ninguno de ellos divide a otro. Demuestre que hay exactamente $1982$ números en $\{1, 2, \ldots, 6798\}$ que deben terminar siendo elegidos.

Una mesa de billar rectangular tiene un agujero en cada una de las tres esquinas. Las longitudes de los lados de la mesa son los números reales $a$ y $b$. Se dispara una bola de billar desde la cuarta esquina a lo largo de su bisectriz de ángulo. La bola cae en uno de los agujeros. ¿Cuál debería ser la relación entre $a$ y $b$ para que esto suceda?

Sean $r_1, \ldots , r_n$ los radios de $n$ esferas. Llame $S_1, S_2, \ldots , S_n$ a las áreas del conjunto de puntos de cada esfera desde donde no se puede ver ningún punto de ninguna otra esfera. Demuestra que \[\frac{S_1}{r_1^2} + \frac{S_2}{r_2^2}+\cdots+\frac{S_n}{r_n^2} = 4 \pi.\]

Dados dos números reales $\alpha$ y $\beta , 0 \leq \alpha < \beta \leq 1$ , demuestra que existe un número natural $m$ tal que \[\alpha < \frac{\phi(m)}{m} < \beta.\]

Una caja contiene $p$ bolas blancas y $q$ bolas negras. Al lado de la caja hay una pila de bolas negras. Se sacan dos bolas de la caja. Si tienen el mismo color, se coloca una bola negra de la pila en la caja. Si tienen colores diferentes, la bola blanca se vuelve a colocar en la caja. Este procedimiento se repite hasta que las dos últimas bolas se retiran de la caja y se coloca una última bola. ¿Cuál es la probabilidad de que esta última bola sea blanca?

Encuentra todas las soluciones $(x, y) \in \mathbb Z^2$ de la ecuación \[x^3 - y^3 = 2xy + 8.\]

En las tres líneas distintas $a, b$ , y $c$ se dan tres puntos $A, B$ , y $C$ , respectivamente. Construir tres puntos colineales $X, Y,Z$ en las líneas $a, b, c$ , respectivamente, tal que $\frac{BY}{AX} = 2$ y $ \frac{CZ}{AX} = 3$ .