La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 13 de agosto de 2008, 7:31 a. m. • 4 Y Y por Adventure10, qwertyboyfromalotoftime, HWenslawski, Mango247 Sea $ \mathbb{R}^+$ el conjunto de todos los números reales no negativos. Dados dos números reales positivos $ a$ y $ b,$ suponga que una aplicación $ f: \mathbb{R}^+ \mapsto \mathbb{R}^+$ satisface la ecuación funcional: \[ f(f(x)) + af(x) = b(a + b)x.\] Demuestre que existe una solución única de esta ecuación. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Demetres 451 publicaciones Demetres #1 h 23 de feb. de 2022, 6:50 a. m. • 1 Y Y por cubres Sean $n, m$ enteros positivos tales que \[n(4n+1)=m(5m+1)\] (a) Demuestre que la diferencia $n-m$ es un cuadrado perfecto de un entero positivo. (b) Encuentre un par de enteros positivos $(n, m)$ que satisfaga la relación anterior. Parte adicional (no solicitada en el TST): Encuentre todos los pares $(n,m)$ de este tipo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 29 de noviembre de 2025, 8:22 a. m. Y por ¿Es posible dividir los números del $1$ al $100$ en dos grupos de $50$ números cada uno de tal manera que la suma de los productos de los números en los grupos termine en $9$? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 1 de julio de 2018, 5:00 AM • 2 Y Y por Geoff Smith, Adventure10 Sea $\Lambda= \{1, 2, \ldots, 2v-1,2v\}$ y $P=\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{2v-1}, \alpha_{2v}\}$ una permutación de los elementos de $\Lambda$. (a) Demuestre que $$\sum_{i=1}^v \alpha_{2i-1}\alpha_{2i} \leq \sum_{i=1}^v (2i-1)2i.$$ (b) Determine el entero positivo $m$ más grande tal que podamos particionar el cuadrado de $m\times m$ en $7$ rectángulos para los cuales ningún par de ellos tenga puntos interiores comunes y sus longitudes y anchos formen la siguiente sucesión: $$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14.$$ Z K Y

Hay niños y niñas en la clase. El profesor los ha sentado en pupitres de tal manera que hay tantos pares niño-niña como pares niño-niño, y el doble de pares niña-niña que de pares niño-niño. Demuestre que esta clase puede sentarse en pupitres de tal manera que haya tres veces menos pares niña-niña que pares niño-niña.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 17 de mar. de 2018, 3:33 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, mxsail Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demuestre la desigualdad $$(a+b)\sqrt{ab}+(a+c)\sqrt{ac}+(b+c)\sqrt{bc} \geq (a+b+c)^2/2.$$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 17 de mar. de 2018, 3:25 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, mxsail Llamamos centroide de un cuadrilátero $PQRS$ al punto común de las dos rectas que pasan por los puntos medios de sus lados opuestos. Suponga que $ABCDEF$ es un hexágono inscrito en el círculo $\Omega$ centrado en $O$. Sean $AB=DE$ y $BC=EF$. Sean $X$, $Y$ y $Z$ los centroides de $ABDE$, $BCEF$ y $CDFA$, respectivamente. Demuestre que $O$ es el ortocentro del triángulo $XYZ$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 27 de noviembre de 2022, 8:00 a. m. Y por A Un entero positivo se llama sabroso si, al sumarlo al número obtenido cuando sus dígitos se intercambian de un lado a otro de su forma escrita, el resultado es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, $143$ es sabroso, ya que $143 + 341 = 484 = 22^2$. Encuentre todos los números sabrosos de dos dígitos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 17 de mar. de 2018, 3:28 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, mxsail Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $\angle BCD=90^\circ$. Sea $E$ el punto medio de $AB$. Demuestre que $2EC \leqslant AD+BD$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. pj294 26 publicaciones pj294 #1 h 18 de febrero de 2019, 4:30 PM • 3 Y Y por scpajmb, Adventure10, Mango247 Demuestre que, para cualesquiera números reales positivos $a, b, c$ que satisfacen $a^2+b^2+c^2=1$, se cumple la siguiente desigualdad: $\sqrt{\frac{1}{a}-a}+\sqrt{\frac{1}{b}-b}+\sqrt{\frac{1}{c}-c} \geq \sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}$ Z K Y