Entre todos los triángulos con un perímetro dado, encontrar aquel con el radio máximo de su incírculo.

(a) Encontrar la reordenación $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza $a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.$\n(b) Encontrar la reordenación que minimiza $Q.$

Dados $n$ puntos $X_1,X_2,\ldots, X_n$ en el intervalo $0 \leq X_i \leq 1, i = 1, 2,\ldots, n$ , demostrar que existe un punto $y, 0 \leq y \leq 1$ , tal que $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} | y - X_i | = \frac 12.$

(a) Demostrar que $\frac{1}{n+1} \cdot \binom{2n}{n}$ es un entero para $n \geq 0.$\n(b) Dado un entero positivo $k$ , determine el entero más pequeño $C_k$ con la propiedad de que $\frac{C_k}{n+k+1} \cdot \binom{2n}{n}$ es un entero para todo $n \geq k.$

Llamamos a un entero positivo par $n$ 'agradable' si el conjunto $\{1, 2, \dots, n\}$ se puede dividir en $\frac{n}{2}$ subconjuntos de dos elementos, tales que la suma de los elementos en cada subconjunto es una potencia de $3$. Por ejemplo, $6$ es 'agradable', porque el conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ se puede dividir en subconjuntos $\{1, 2\}$, $\{3, 6\}$, $\{4, 5\}$. Encuentra el número de enteros positivos 'agradables' que son menores que $3^{2022}$.

Encuentra todas las cuádruplas de enteros positivos $(p, q, a, b)$, donde $p$ y $q$ son números primos y $a > 1$, tales que $$p^a = 1 + 5q^b.$$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AH = HD$, donde $H$ es el ortocentro de $ABC$ y $D \in BC$ es el pie de la altura desde el vértice $A$. Sea $\ell$ la recta que pasa por $H$ que es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$. Sean $S$ y $T$ los puntos de intersección de $\ell$ con $AB$ y $AC$, respectivamente. Denote los puntos medios de $BH$ y $CH$ por $M$ y $N$, respectivamente. Demuestra que las rectas $SM$ y $TN$ son paralelas.

Encuentra todos los pares de enteros positivos $(a, b)$ tales que $$11ab \le a^3 - b^3 \le 12ab.$$

Demostrar que toda partición del espacio 3-dimensional en tres subconjuntos disjuntos tiene la siguiente propiedad: Uno de estos subconjuntos contiene todas las distancias posibles; es decir, para cada $a \in \mathbb R^+$ , existen puntos $M$ y $N$ dentro de ese subconjunto tales que la distancia entre $M$ y $N$ es exactamente $a.$

Sea $d_n$ el último dígito distinto de cero de la representación decimal de $n!$. Demostrar que $d_n$ es aperiódico; es decir, no existen $T$ y $n_0$ tales que para todo $n \geq n_0, d_{n+T} = d_n.$