Sea $A$ uno de los dos puntos distintos de intersección de dos círculos coplanares desiguales $C_1$ y $C_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Una de las tangentes comunes a los círculos toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$, mientras que la otra toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$. Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$. Demostrar que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$.

Sea $n$ un entero positivo que tiene al menos dos factores primos diferentes. Demostrar que existe una permutación $a_1, a_2, \dots , a_n$ de los enteros $1, 2, \dots , n$ tal que $\sum_{k=1}^{n} k \cdot \cos \frac{2 \pi a_k}{n}=0.$

Hallar el entero más grande menor o igual a $\sum_{k=1}^{2^{1983}} k^{\frac{1}{1983} -1}.$

Encuentra todas las soluciones del siguiente sistema de $n$ ecuaciones en $n$ variables: \[\begin{array}{c}\ x_1|x_1| - (x_1 - a)|x_1 - a| = x_2|x_2|,x_2|x_2| - (x_2 - a)|x_2 - a| = x_3|x_3|,\ \vdots \ x_n|x_n| - (x_n - a)|x_n - a| = x_1|x_1|\end{array}\] donde $a$ es un número dado.

Sea $(F_n)_{n\geq 1} $ la sucesión de Fibonacci $F_1 = F_2 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n (n \geq 1),$ y $P(x)$ el polinomio de grado $990$ que satisface \[ P(k) = F_k, \qquad \text{ para } k = 992, . . . , 1982.\] Demuestra que $P(1983) = F_{1983} - 1.$

Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos, de los cuales no hay dos que tengan un divisor común mayor que $1$ . Demuestra que $2abc-ab-bc-ca$ es el entero más grande que no se puede expresar de la forma $xbc+yca+zab$ , donde $x,y,z$ son enteros no negativos.

Sean $P_1, P_2, \dots , P_n$ puntos distintos del plano, $n \geq 2$ . Demuestra que \[ \max_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j > \frac{\sqrt 3}{2}(\sqrt n -1) \min_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j \]

Sea $F(n)$ el conjunto de polinomios $P(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ , con $a_0, a_1, . . . , a_n \in \mathbb R$ y $0 \leq a_0 = a_n \leq a_1 = a_{n-1 } \leq \cdots \leq a_{[n/2] }= a_{[(n+1)/2]}.$ Demuestra que si $f \in F(m)$ y $g \in F(n)$ , entonces $fg \in F(m + n).$

Decide si existe un conjunto $M$ de enteros positivos que satisfacen las siguientes condiciones: (i) Para cualquier número natural $m>1$ existen $a, b \in M$ tal que $a+b = m.$ (ii) Si $a, b, c, d \in M$ , $a, b, c, d > 10$ y $a + b = c + d$ , entonces $a = c$ o $a = d.$

¿Es posible elegir $1983$ enteros positivos distintos, todos menores o iguales a $10^5$ , ninguno de los cuales son términos consecutivos de una progresión aritmética?