Sea $E$ el conjunto de los $1983^3$ puntos del espacio $\mathbb R^3$ cuyas tres coordenadas son enteros entre $0$ y $1982$ (incluyendo $0$ y $1982$ ). Una coloración de $E$ es una función de $E$ al conjunto {rojo, azul}. ¿Cuántas coloraciones de $E$ hay que satisfacen la siguiente propiedad: El número de vértices rojos entre los $8$ vértices de cualquier paralelepípedo rectángulo es un múltiplo de $4$ ?

Encuentra todas las funciones $f$ definidas en el conjunto de los reales positivos que toman valores reales positivos y satisfacen: $f(xf(y))=yf(x)$ para todos $x,y$ ; y $f(x)\to0$ cuando $x\to\infty$ .

Sea $f : [0, 1] \to \mathbb R$ continua y satisface:\n\[ \begin{cases}bf(2x) = f(x), &\mbox{ si } 0 \leq x \leq 1/2,\ f(x) = b + (1 - b)f(2x - 1), &\mbox{ si } 1/2 \leq x \leq 1,\end{cases}\]\ndonde $b = \frac{1+c}{2+c}$ , $c > 0$ . Muestra que $0 < f(x)-x < c$ para cada $x, 0 < x < 1.$

Sean $p$ y $q$ enteros. Demostrar que existe un intervalo $I$ de longitud $1/q$ y un polinomio $P$ con coeficientes integrales tal que\n\[ \left|P(x)-\frac pq \right| < \frac{1}{q^2}\] para todo $x \in I.$

Sean $ a$ , $ b$ y $ c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que\n\[ a^{2}b(a - b) + b^{2}c(b - c) + c^{2}a(c - a)\ge 0.\]\nDeterminar cuándo ocurre la igualdad.

En una prueba, $3n$ estudiantes participan, quienes están ubicados en tres filas de $n$ estudiantes en cada una. Los estudiantes abandonan la sala de examen uno por uno. Si $N_1(t), N_2(t), N_3(t)$ denotan los números de estudiantes en la primera, segunda y tercera fila respectivamente en el tiempo $t$ , hallar la probabilidad de que para cada t durante la prueba,\n\[|N_i(t) - N_j(t)| < 2, i \neq j, i, j = 1, 2, \dots .\]

Sea $a$ un entero positivo y sea $\{a_n\}$ definida por $a_0 = 0$ y\n\[a_{n+1 }= (a_n + 1)a + (a + 1)a_n + 2 \sqrt{a(a + 1)a_n(a_n + 1)} \qquad (n = 1, 2 ,\dots ).\]\nDemostrar que para cada entero positivo $n$ , $a_n$ es un entero positivo.

Sean ${x_1, x_2, \dots , x_n}$ enteros positivos para los cuales $x_1 + x_2 + \cdots+ x_n = 2(n + 1)$ . Demostrar que existe un entero $r$ con $0 \leq r \leq n - 1$ para el cual se cumplen las siguientes $n - 1$ desigualdades:\n\[x_{r+1} + \cdots + x_{r+i} \leq 2i+ 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq n - r; \]\n\[x_{r+1} + \cdots + x_n + x_1 + \cdots+ x_i \leq 2(n - r + i) + 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq r - 1.\]\nDemostrar que si todas las desigualdades son estrictas, entonces $r$ es único y que de lo contrario hay exactamente dos tales $r$.

Considere el conjunto $\mathbb Q^2$ de puntos en $\mathbb R^2$ , ambas coordenadas racionales. (a) Demuestre que la unión de segmentos con vértices de $\mathbb Q^2$ es todo el conjunto $\mathbb R^2$ . (b) ¿Es la envolvente convexa de $\mathbb Q^2$ (es decir, el conjunto convexo más pequeño en $\mathbb R^2$ que contiene a $\mathbb Q^2$ ) igual a $\mathbb R^2$ ?

Sea $n$ un entero positivo. Sea $\sigma(n)$ la suma de los divisores naturales $d$ de $n$ (incluyendo $1$ y $n$ ) . Decimos que un entero $m \geq 1$ es superabundante (P.Erdos, $1944$ ) si $\forall k \in \{1, 2, \dots , m - 1 \}$ , $\frac{\sigma(m)}{m} >\frac{\sigma(k)}{k}.$ Demuestre que existe un infinito de números superabundantes.