(a) Dado un tetraedro $ABCD$ y sus cuatro alturas (es decir, líneas que pasan por cada vértice, perpendiculares a la cara opuesta), asuma que la altura trazada desde $D$ pasa por el ortocentro $H_4$ del $\triangle ABC$ . Demuestre que esta altura $DH_4$ interseca a las otras tres alturas. (b) Si además sabemos que una segunda altura, digamos la que va desde el vértice A a la cara $BCD$ , también pasa por el ortocentro $H_1$ del $\triangle BCD$ , entonces demuestre que las cuatro alturas son concurrentes y cada una pasa por el ortocentro del triángulo respectivo.

Diecisiete ciudades son servidas por cuatro aerolíneas. Se observa que hay servicio directo (sin escalas) entre dos ciudades y que todos los horarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestre que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de aterrizajes.

Las localidades $P_1, P_2, \dots, P_{1983}$ son servidas por diez aerolíneas internacionales $A_1,A_2, \dots , A_{10}$ . Se observa que hay servicio directo (sin escalas) entre dos de estas localidades y que todos los horarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestre que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de aterrizajes.

El mapa de vuelos de la compañía aérea $K_{r,r}$ presenta varias ciudades. Algunas ciudades están conectadas por un vuelo directo (de ida y vuelta), el número total de vuelos es m. Uno debe elegir dos grupos no intersecantes de r ciudades cada uno de manera que cada ciudad del primer grupo esté conectada por un vuelo con cada ciudad del segundo grupo. Demuestra que el número de posibles elecciones no excede $2*m^r$ .

Los números $a$ , $b$ , $c$ , $d$ satisfacen $0<a \leq b \leq d \leq c$ y ${a+c=b+d}$ . Demuestra que para cada punto interior $P$ de un segmento con longitud $a$ este segmento es un lado de un cuadrilátero circunscrito con lados consecutivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , tal que su incírculo contiene ~ $P$ .

¿Existe un entero positivo $N>10^{20}$ tal que todos sus dígitos decimales son impares, los números de dígitos 1, 3, 5, 7, 9 en su representación decimal son iguales, y es divisible por cada número de 20 dígitos obtenido de él eliminando dígitos? (Ni los dígitos eliminados ni los restantes deben ser consecutivos).

Se escriben números positivos en los cuadrados de una tabla de 10 × 10. Las ranas se sientan en cinco cuadrados y cubren los números en estos cuadrados. Kostya encontró la suma de todos los números visibles y obtuvo 10. Luego cada rana saltó a un cuadrado adyacente y la suma de Kostya cambió a $10^2$ . Luego las ranas saltaron de nuevo, y la suma cambió a $10^3$ y así sucesivamente: cada nueva suma fue 10 veces mayor que la anterior. ¿Qué suma máxima puede obtener Kostya?

Números no negativos $a$ , $b$ , $c$ satisfacen $a^2+b^2+c^2\geq 3$ . Demuestra la desigualdad $$ (a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca). $$

Un cubo se encuentra en uno de los cuadrados de un tablero de ajedrez infinito. En cada cara del cubo hay una flecha que apunta en una de las cuatro direcciones paralelas a los lados de la cara. Anton mira el cubo desde arriba y lo hace rodar sobre un borde en la dirección apuntada por la flecha en la cara superior. Demuestra que el cubo no puede cubrir ningún cuadrado de $5\times 5$.

El punto $D$ en la altitud $AA_1$ de un triángulo acutángulo $ABC$ es tal que $\angle BDC=90^\circ$ ; $H$ es el ortocentro de $ABC$ . Se construye un círculo con diámetro $AH$ . Demuestra que la tangente trazada desde $B$ a este círculo es igual a $BD$ .