La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 24 de mar. de 2024, 5:12 a. m. • 2 Y Y por PikaPika999, mxsail Los $49$ números $2,3,4,...,49,50$ están escritos en la pizarra. Una operación permitida consiste en elegir dos números diferentes $a$ y $b$ de la pizarra tales que $a$ sea un múltiplo de $b$ y borrar exactamente uno de los dos. María realiza una sucesión de operaciones permitidas hasta que observa que ya no es posible realizar ninguna más. Determine el número mínimo de números que pueden quedar en la pizarra en ese momento. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 13 de agosto de 2008, 7:53 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 ¿Existe un conjunto $ M$ con las siguientes propiedades? (i) El conjunto $ M$ consta de 1992 números naturales. (ii) Cada elemento en $ M$ y la suma de cualquier cantidad de elementos tienen la forma $ m^k$ $ (m, k \in \mathbb{N}, k \geq 2).$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 13 de agosto de 2008, 7:42 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ f(x)$ un polinomio con coeficientes racionales y $ \alpha$ un número real tal que \[ \alpha^3 - \alpha = [f(\alpha)]^3 - f(\alpha) = 33^{1992}.\] Demuestre que para cada $ n \geq 1,$ \[ \left [ f^{n}(\alpha) \right]^3 - f^{n}(\alpha) = 33^{1992},\] donde $ f^{n}(x) = f(f(\cdots f(x))),$ y $ n$ es un entero positivo. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de oct. de 2010, 10:16 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(USS 3)$ $(a)$ Demuestre que si $0 \le a_0 \le a_1 \le a_2,$ entonces $(a_0 + a_1x - a_2x^2)^2 \le (a_0 + a_1 + a_2)^2\left(1 +\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x^3+x^4\right)$ $(b)$ Formule y demuestre el resultado análogo para polinomios de tercer grado. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rushil 1592 publicaciones Rushil #1 h 7 de nov. de 2005, 4:59 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados los números reales $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$ que satisfacen $x_1>0,x_2>0,x_1y_1>z_1^2$ y $x_2y_2>z_2^2$ , demuestre que: \[ {8\over(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le{1\over x_1y_1-z_1^2}+{1\over x_2y_2-z_2^2}. \] Determine las condiciones necesarias y suficientes para la igualdad. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de octubre de 2010, 4:21 AM • 1 Y Y por Adventure10 $(USS 2)$ Demuestre que para $a > b^2,$ la identidad ${\sqrt{a-b\sqrt{a+b\sqrt{a-b\sqrt{a+\cdots}}}}=\sqrt{a-\frac{3}{4}b^2}-\frac{1}{2}b}$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 13 de julio de 2018, 9:23 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En la siguiente figura, el cuadrado más grande está dividido en dos cuadrados y tres rectángulos, como se muestra: El área de cada cuadrado más pequeño es igual a $a$ y el área de cada rectángulo pequeño es igual a $b$. Si $a+b=24$ y la raíz cuadrada de $a$ es un número natural, encuentre todos los valores posibles para el área del cuadrado más grande. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/f/a/0b424d9c293889b24d9f31b1531bed5081081f.png Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por parmenides51, 26 de marzo de 2022, 11:14 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NiltonCesar 166 publicaciones NiltonCesar #1 h 6 de mayo de 2018, 7:54 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Considere una sucesión de números reales definida por: $a_{n + 1} = a_n + \frac{1}{a_n}$ para $n = 0, 1, 2, ...$ Demuestre que, para cualquier número real positivo $a_0$, es cierto que $a_{1996}$ es mayor que $63$. Esta publicación ha sido editada 4 veces. Última edición por NiltonCesar, 6 de mayo de 2018, 8:27 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 925 publicaciones mathisreal #1 h 7 de octubre de 2017, 6:19 PM • 1 Y Y por Adventure10 Una tienda vende botellas con esta capacidad: $1L, 2L, 3L,..., 1996L$, los precios de las botellas satisfacen estas $2$ condiciones: $1$. Dos botellas tienen el mismo precio, si y solo si, sus capacidades satisfacen $m - n = 1000$. $2$. El precio de la botella $m$ ($1001>m>0$) es $1996 - m$ dólares. Encuentre todos los pares $m$ y $n$ tales que: a) $m + n = 1000$ b) el costo sea el menor posible!!! c) con el par, la tienda pueda medir $k$ litros, con $0<k<1996$ (para todo $k$ entero) Nota: Las operaciones para medir son: i) Llenar o vaciar cualquiera de las dos botellas ii) Pasar agua de una botella a otra. Podemos medir $k$ litros cuando la capacidad de una botella más la capacidad de la otra botella es igual a $k$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por mathisreal, 17 de septiembre de 2018, 4:53 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de octubre de 2010, 2:44 AM • 1 Y Y por Adventure10 $(USS 1)$ Demuestre que para un número natural $n > 2, (n!)! > n[(n - 1)!]^{n!}.$ Z K Y