Tanya y Serezha tienen un montón de $2016$ caramelos. Hacen movimientos por turnos, Tanya se mueve primero. En cada movimiento un jugador puede comer ya sea un caramelo o (si el número de caramelos es par en el momento) exactamente la mitad de todos los caramelos. El jugador que no puede mover pierde. ¿Cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora?

Se da un grafo conexo. Demuestra que sus vértices pueden ser coloreados de azul y verde y algunas de sus aristas marcadas de manera que cada dos vértices estén conectados por un camino de aristas marcadas, cada arista marcada conecta dos vértices de diferente color y no hay dos vértices verdes conectados por una arista del grafo original.

Para todo $x$ , $y$ , $z>{3\over 2}$ demuestra la desigualdad $$ x^{24} + \root 5\of {y^{60}+z^{40}} \geq \left(x^4 y^3 + {1\over 3} y^2 z^2 + {1\over 9} x^3 z^3 \right)^2. $$

Los números $a$ , $b$ , $c$ , $d$ satisfacen $0<a \leq b \leq d \leq c$ y ${a+c=b+d}$ . Demuestra que para cada punto interior $P$ de un segmento con longitud $a$ este segmento es un lado de un cuadrilátero circunscrito con lados consecutivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , tal que su incírculo contiene ~ $P$ .

La razón de los números primos $p$ y $q$ no excede 2 ( $p\ne q$ ) . Demuestra que hay dos enteros positivos consecutivos tales que el mayor divisor primo de uno de ellos es $p$ y el del otro es $q$ .

Para cada entero positivo $k$ encuentra el número de soluciones en enteros no negativos $x,y,z$ con $x\le y \le z$ de la ecuación $$8^k=x^3+y^3+z^3-3xyz$$

Las altitudes $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ de un triángulo acutángulo $ABC$ se encuentran en $H$ . $A_0$ , $B_0$ , $C_0$ son los puntos medios de $BC$ , $CA$ , $AB$ respectivamente. Los puntos $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ en los segmentos $AH$ , $BH$ , $HC_1$ respectivamente son tales que $\angle A_0B_2A_2 = \angle B_0C_2B_2 = \angle C_0A_2C_2 =90^\circ$ . Demuestra que las líneas $AC_2$ , $BA_2$ , $CB_2$ son concurrentes.

Un cubo se encuentra en uno de los cuadrados de un tablero de ajedrez infinito. En cada cara del cubo hay una flecha que apunta en una de las cuatro direcciones paralelas a los lados de la cara. Anton mira el cubo desde arriba y lo hace rodar sobre un borde en la dirección apuntada por la flecha en la cara superior. Demuestra que el cubo no puede cubrir ningún cuadrado de $5\times 5$.

La secuencia $(a_n)$ está definida por $a_1=0$ , $$ a_{n+1}={a_1+a_2+\ldots+a_n\over n}+1. $$ Demuestra que $a_{2016}>{1\over 2}+a_{1000}$ .

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes complejos no constante y sea $Q(x,y)=P(x)-P(y).$ Suponga que el polinomio $Q(x,y)$ tiene exactamente $k$ factores lineales no proporcionales dos a dos (sin contar repeticiones). Sea $R(x,y)$ un factor de $Q(x,y)$ de grado estrictamente menor que $k$. Demuestre que $R(x,y)$ es un producto de polinomios lineales. Nota: El grado del polinomio no trivial $\sum_{m}\sum_{n}c_{m,n}x^{m}y^{n}$ es el máximo de $m+n$ a lo largo de todos los coeficientes no nulos $c_{m,n}.$ Dos polinomios son proporcionales si uno de ellos es el otro multiplicado por una constante compleja.