Dos hormigas se mueven a lo largo de las aristas de un poliedro convexo. La ruta de cada hormiga termina en su punto de partida, de modo que una hormiga no pasa por el mismo punto dos veces a lo largo de su camino. En cada cara $F$ del poliedro se escribe el número de aristas de $F$ que pertenecen a la ruta de la primera hormiga y el número de aristas de $F$ que pertenecen a la ruta de la segunda hormiga. ¿Existe un poliedro y un par de rutas descritas como anteriormente, tales que solo una cara contiene un par de números distintos?

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $P$ un punto en su plano tal que $AP<BP<CP.$ Suponga que las longitudes de los segmentos $AP,BP$ y $CP$ determinan únicamente el lado de $ABC$. Demuestre que $P$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC.$

Sean $p$ y $q$ enteros positivos impares relativamente primos tales que $1 < p < q$. Sea $A$ un conjunto de pares de enteros $(a, b)$, donde $0 \le a \le p - 1, 0 \le b \le q - 1$, que contiene exactamente un par de cada uno de los conjuntos $$\{(a, b),(a + 1, b + 1)\}, \{(a, q - 1), (a + 1, 0)\}, \{(p - 1,b),(0, b + 1)\}$$ siempre que $0 \le a \le p - 2$ y $0 \le b \le q - 2$. Demuestre que $A$ contiene al menos $(p - 1)(q + 1)/8$ pares cuyas entradas son ambas pares.

Un cuadrilátero $ABCD$ está circunscrito a una circunferencia con centro $I$. Se elige un punto $P \ne I$ dentro de $ABCD$ de modo que los triángulos $PAB, PBC, PCD,$ y $PDA$ tienen perímetros iguales. Una circunferencia $\Gamma$ con centro en $P$ corta a los rayos $PA, PB, PC$ , y $PD$ en $A_1, B_1, C_1$ , y $D_1$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $PI, A_1C_1$ , y $B_1D_1$ son concurrentes.

Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$. Se elige un punto $D$ en la bisectriz interna de $\angle ACB$ de modo que los puntos $D$ y $C$ estén separados por $AB$. Una circunferencia $\omega$ con centro en $D$ es tangente al segmento $AB$ en $E$. Las tangentes a $\omega$ que pasan por $C$ cortan al segmento $AB$ en $K$ y $L$, donde $K$ está en el segmento $AL$. Una circunferencia $\Omega_1$ es tangente a los segmentos $AL, CL$, y también a $\Omega$ en el punto $M$. Similarmente, una circunferencia $\Omega_2$ es tangente a los segmentos $BK, CK$, y también a $\Omega$ en el punto $N$. Las rectas $LM$ y $KN$ se cortan en $P$. Demuestre que $\angle KCE = \angle LCP$.

Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$. Se elige un punto $D$ en la bisectriz interna de $\angle ACB$ de modo que los puntos $D$ y $C$ estén separados por $AB$. Una circunferencia $\omega$ con centro en $D$ es tangente al segmento $AB$ en $E$. Las tangentes a $\omega$ que pasan por $C$ cortan al segmento $AB$ en $K$ y $L$, donde $K$ está en el segmento $AL$. Una circunferencia $\Omega_1$ es tangente a los segmentos $AL, CL$, y también a $\Omega$ en el punto $M$. Similarmente, una circunferencia $\Omega_2$ es tangente a los segmentos $BK, CK$, y también a $\Omega$ en el punto $N$. Las rectas $LM$ y $KN$ se cortan en $P$. Demuestre que $\angle KCE = \angle LCP$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \ne AC$, y sean $I$ y $O$ su incentro y circuncentro, respectivamente. Sea la circunferencia inscrita tangente a $BC, CA$ y $AB$ en $D, E$ y $F$, respectivamente. Asuma que la recta que pasa por $I$ paralela a $EF$, la recta que pasa por $D$ paralela a $AO$, y la altura desde $A$ son concurrentes. Demuestre que el punto de concurrencia es el ortocentro del triángulo $ABC$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. La recta que pasa por $C$ perpendicular a $AC$ se encuentra con la bisectriz del ángulo externo de $\angle ABC$ en $D$ . Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $D$ sobre $BC$ . El punto $K$ se elige en $AB$ de modo que $KH \parallel AC$ . Sea $M$ el punto medio de $AK$ . Demostrar que $MC = MB + BH$ .

Sea $BM$ una mediana en un triángulo acutángulo $ABC$ . Se elige un punto $K$ en la recta que pasa por $C$ tangente a la circunferencia circunscrita de $\vartriangle BMC$ de modo que $\angle KBC = 90^\circ$ . Los segmentos $AK$ y $BM$ se encuentran en $J$ . Demostrar que el circuncentro de $\triangle BJK$ se encuentra en la recta $AC$ .

Fijar un entero impar $n > 1$ . Para una permutación $p$ del conjunto $\{1,2,...,n\}$ , sea S el número de pares de índices $(i, j)$ , $1 \le i \le j \le n$ , para los cuales $p_i +p_{i+1} +...+p_j$ es divisible por $n$ . Determinar el valor máximo posible de $S$ .