Fijar un entero $n \ge 2$ . Una pieza de ajedrez mágica leopardo puede moverse una celda hacia arriba, o una celda hacia la derecha, o una celda diagonalmente hacia abajo a la izquierda. Un leopardo se coloca en alguna celda de un tablero de ajedrez de $3n \times 3n$. El leopardo hace varios movimientos, sin visitar nunca una celda dos veces, y regresa a la celda de inicio. Determinar el número máximo posible de movimientos que el leopardo podría haber hecho.

Sean $k$ y $N$ enteros tales que $k > 1$ y $N > 2k + 1$ . Un número de $N$ personas se sientan alrededor de la Mesa Redonda, equidistantes. Cada persona es un caballero (siempre dice la verdad) o un mentiroso (que siempre miente). Cada persona ve las $k$ personas más cercanas en el sentido de las agujas del reloj, y las $k$ personas más cercanas en el sentido contrario a las agujas del reloj. Cada persona dice: 'Veo la misma cantidad de caballeros a mi izquierda que a mi derecha'. Establecer, en términos de $k$ y $N$ , si las personas alrededor de la Mesa son necesariamente todos caballeros.

Dado un entero positivo $n$ , determinar la constante máxima $C_n$ que satisface la siguiente condición: para cualquier partición del conjunto $\{1,2,\ldots,2n \}$ en dos subconjuntos de $n$ elementos $A$ y $B$ , existen etiquetas $a_1,a_2,\ldots,a_n$ y $b_1,b_2,\ldots,b_n$ de $A$ y $B$ , respectivamente, tales que $$(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+\ldots+(a_n-b_n)^2\ge C_n.$$

Determinar todas las funciones $f:\mathbb R\mapsto\mathbb R$ que satisfacen la ecuación $f(a^2 +ab+ f(b^2))=af(b)+b^2+ f(a^2)\,\forall a,b\in\mathbb R $

Considere un $\triangle {ABC}$, con $AC \perp BC$. Considere un punto $D$ en $AB$ tal que $CD=k$, y los radios de los círculos inscritos en $\triangle {ADC}$ y $\triangle {CDB}$ son iguales. Demuestre que el área de $\triangle {ABC}$ es igual a $k^2$.

Resuelva la siguiente ecuación en enteros con gcd (x, y) = 1 $x^2 + y^2 = 2 z^2$

Pedro y Cecilia juegan el siguiente juego: Pedro elige un número entero positivo $a$ y Cecilia gana si encuentra un número entero positivo $b$, primo con $a$, tal que, en la factorización de $a^3+b^3$ aparecerán tres números primos diferentes. Demuestre que Cecilia siempre puede ganar.

Sea $p$ un número real positivo dado. Encuentre el valor mínimo de $x^3+y^3$, sabiendo que $x$ e $y$ son números reales positivos tales que $xy(x+y)=p$.

Considere un círculo $C$ con diámetro $AB=1$. Se elige un punto $P_0$ en $C$, $P_0 \ne A$, y comenzando en $P_0$ se construye una secuencia de puntos $P_1, P_2, \dots, P_n, \dots$ en $C$, de la siguiente manera: $Q_n$ es el punto simétrico de $A$ con respecto a $P_n$ y la línea recta que une $B$ y $Q_n$ corta a $C$ en $B$ y $P_{n+1}$ (no necesariamente diferente). Demuestre que es posible elegir $P_0$ tal que: i $\angle {P_0AB} < 1$. ii En la secuencia que comienza con $P_0$ hay $2$ puntos, $P_k$ y $P_j$, tales que $\triangle {AP_kP_j}$ es equilátero.

El número entero positivo $n$ tiene $1994$ dígitos. $14$ de sus dígitos son $0$ ' s y la cantidad de veces que los otros dígitos: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ aparecen están en proporción $1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9$, respectivamente. Demuestre que $n$ no es un cuadrado perfecto.