Dado un triángulo $ABC$ con incentro $I$. El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a $BC$ en $D$. Sean $P$ y $Q$ puntos en el lado BC tales que $\angle PAB = \angle BCA$ y $\angle QAC = \angle ABC$, respectivamente. Sean $K$ y $L$ el incentro de los triángulos $ABP$ y $ACQ$, respectivamente. Demostrar que $AD$ es la línea de Euler del triángulo $IKL$.

Se dan 2021 puntos en el plano en posición convexa, no tres colineales y no cuatro concíclicos. Demostrar que existen dos de ellos tales que todo círculo que pasa por estos dos puntos contiene al menos 673 de los otros puntos en su interior. (Un conjunto finito de puntos en el plano están en posición convexa si los puntos son los vértices de un polígono convexo).

Consideremos un triángulo $ABC$ con alturas $AD, BE$ y $CF$, y ortocentro $H$. Sea la línea perpendicular desde $H$ a $EF$ interseca a $EF, AB$ y $AC$ en $P, T$ y $L$, respectivamente. El punto $K$ se encuentra en el lado $BC$ de tal manera que $BD=KC$. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $H$ y $P$, que es tangente a $AH$. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulo $ATL$ y $\omega$ son tangentes, y $KH$ pasa por el punto de tangencia.

Dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se encuentran en dos puntos distintos $A$ y $B$. Una línea que pasa por $A$ se encuentra con $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ de nuevo en $C$ y $D$ respectivamente, de tal manera que $A$ se encuentra entre $C$ y $D$. La tangente en $A$ a $\Gamma_2$ se encuentra con $\Gamma_1$ de nuevo en $E$. Sea $F$ un punto en $\Gamma_2$ tal que $F$ y $A$ se encuentran en lados diferentes de $BD$, y $2\angle AFC=\angle ABC$. Demostrar que la tangente en $F$ a $\Gamma_2$, y las líneas $BD$ y $CE$ son concurrentes.

Se da el triángulo acutángulo $ABC$ con circunferencia circunscrita $\omega$. Sea $D$ el punto medio de $AC$, $E$ el pie de la altura desde $A$ hasta $BC$, y $F$ el punto de intersección de $AB$ y $DE$. El punto $H$ se encuentra en el arco $BC$ de $\omega$ (el que no contiene a $A$) de tal manera que $\angle BHE=\angle ABC$. Demostrar que $\angle BHF=90^\circ$.

Consideremos un pentágono convexo $ABCDE$ y un punto variable $X$ en su lado $CD$. Supongamos que los puntos $K, L$ se encuentran en el segmento $AX$ de tal manera que $AB = BK$ y $AE = EL$ y que las circunferencias circunscritas de los triángulos $CXK$ y $DXL$ se intersecan por segunda vez en $Y$. Cuando $X$ varía, demostrar que todas esas líneas $XY$ pasan por un punto fijo, o son todas paralelas.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con su incentro $I$ y su circunferencia circunscrita $\Gamma$. La línea $AI$ interseca a $\Gamma$ por segunda vez en $M$. Sea $N$ el punto medio de $BC$ y $T$ el punto en $\Gamma$ tal que $IN \perp MT$. Finalmente, sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $TB$ y $TC$, respectivamente, con la línea perpendicular a $AI$ en $I$. Demostrar que $PB = CQ$.

Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $AB = BC$ y $\angle ABD = \angle BCD = 90$. Sea el punto $E$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. El punto $F$ se encuentra en el lado $AD$ de tal manera que $\frac{AF}{F D}=\frac{CE}{EA}$. El círculo $\omega$ con diámetro $DF$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $ABF$ se intersecan por segunda vez en el punto $K$. El punto $L$ es la segunda intersección de $EF$ y $\omega$. Demostrar que la línea $KL$ pasa por el punto medio de $CE$.

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Los puntos $E, F$ se encuentran en los lados $AB, CD$ respectivamente, de tal manera que $\angle EDC = \angle FBC$ y $\angle ECD = \angle FAD$. Demostrar que $AB \geq 2BC$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC$. Sea $H$ el ortocentro de $ABC$. El punto $E$ es el punto medio de $AC$ y el punto $D$ se encuentra en el lado $BC$ de tal manera que $3CD = BC$. Demostrar que $BE \perp HD$.