La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 12:59 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(BEL 5)$ Sea $G$ el baricentro del triángulo $OAB.$ $(a)$ Demuestre que todas las cónicas que pasan por los puntos $O,A,B,G$ son hipérbolas. $(b)$ Encuentre el lugar geométrico de los centros de estas hipérbolas. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:16 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(BUL 1)$ Demuestre que la ecuación $\sqrt{x^3 + y^3 + z^3}=1969$ no tiene soluciones enteras. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 12:53 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(BEL 1)$ Se dan una parábola $P_1$ con ecuación $x^2 - 2py = 0$ y una parábola $P_2$ con ecuación $x^2 + 2py = 0, p > 0$. Una recta $t$ es tangente a $P_2.$ Encuentre el lugar geométrico del polo $M$ de la recta $t$ con respecto a $P_1.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:21 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Encuentre todas las funciones $f$ definidas para todo $x$ que satisfacen la condición $xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y),$ para todo $x$ y $y.$ Demuestre que exactamente dos de ellas son continuas. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Amir Hossein, 3 de mayo de 2018, 4:13 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 12:58 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(BEL 4)$ Sea $O$ un punto en una cónica no degenerada. Un ángulo recto con vértice en $O$ corta a la cónica en los puntos $A$ y $B$. Demuestre que la recta $AB$ pasa por un punto fijo ubicado en la normal a la cónica que pasa por el punto $O.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 12:56 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(BEL 2) (a)$ Encuentre las ecuaciones de las hipérbolas equiláteras que pasan por los puntos $A(\alpha, 0), B(\beta, 0)$ y $C(0, \gamma).$ $(b)$ Demuestre que todas estas hipérbolas pasan por el ortocentro $H$ del triángulo $ABC.$ $(c)$ Encuentre el lugar geométrico de los centros de estas hipérbolas. $(d)$ Compruebe si este lugar geométrico coincide con el círculo de los nueve puntos del triángulo $ABC.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ZETA_in_olympiad 2211 publicaciones ZETA_in_olympiad #1 h 23 de abril de 2022, 4:46 a. m. • 2 Y Y por Rounak_iitr, mxsail Sea $ABC$ un triángulo rectángulo isósceles en $A$ con $AB=AC$. Sean $M$ y $N$ puntos en el lado $BC$, con $M$ entre $B$ y $N$, tales que $$BM^2+ NC^2= MN^2.$$ Determine la medida del ángulo $\angle MAN.$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por ZETA_in_olympiad, 23 de abril de 2022, 4:46 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 12:57 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(BEL 3)$ Construya el círculo que es tangente a tres círculos dados. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 925 publicaciones mathisreal #1 h 7 de oct. de 2017, 6:30 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea la sucesión $0, 1, 1, 1, 1, 1,....,1$ donde tenemos $1$ número cero y $1995$ números uno. Si elegimos dos o más números en esta sucesión (pero no los $1996$ números) y sustituimos un número por la media aritmética de los números seleccionados, ¡obtenemos una nueva sucesión con $1996$ números! Demuestre que podemos repetir esta operación hasta que los $1996$ números sean iguales. Nota: ¡No es necesario elegir la misma cantidad de números en cada operación! Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por mathisreal, 17 de sep. de 2018, 4:55 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:37 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(CZS 6)$ Sean $d$ y $p$ dos números reales. Encuentre el primer término de una progresión aritmética $a_1, a_2, a_3, \cdots$ con diferencia $d$ tal que $a_1a_2a_3a_4 = p.$ Determine el número de soluciones en términos de $d$ y $p.$ Z K Y