Kilua y Ndoti juegan el siguiente juego en un cuadrado $ABCD$ : Kilua elige uno de los lados del cuadrado y dibuja un punto $X$ en este lado. Ndoti elige uno de los otros tres lados y dibuja un punto Y. Kilua elige otro lado que no ha sido elegido y dibuja un punto Z. Finalmente, Ndoti elige el último lado que no ha sido elegido aún y dibuja un punto W. Cada uno de los jugadores puede dibujar su punto en un vértice de $ABCD$ , pero tienen que elegir el lado del cuadrado que se va a usar para hacer eso. Por ejemplo, si Kilua elige $AB$ , él puede dibujar $X$ en el punto $B$ y eso no impide que Ndoti elija $BC$ . Un vértice no puede ser elegido dos veces. Kilua gana si el área del cuadrilátero convexo formado por $X$ , $Y$ , $Z$ , y $W$ es mayor o igual a la mitad del área de $ABCD$ . De lo contrario, Ndoti gana. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora? ¿Cómo puede jugar?

Encuentra todas las cuádruplas de enteros positivos $(k,a,b,c)$ tal que $2^k=a!+b!+c!$ y $a\geq b\geq c$ .

Desde un punto $K$ de un círculo, se dibuja una cuerda $KA$ (el arco $AK$ es mayor que $90^{o}$ ) y una tangente $l$. La línea que pasa por el centro del círculo y que es perpendicular al radio $OA$ , interseca a $KA$ en $B$ y a $l$ en $C$ . Demuestra que $KC = BC$ .

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , $P$ y $Q$ son puntos en los lados $BC$ y $DC$ tal que $B\hat{A}P = D\hat{A}Q$ . Si la línea que pasa por los ortocentros de $\triangle ABP$ y $\triangle ADQ$ es perpendicular a $AC$ , demuestra que el área de estos triángulos son iguales.

Cada punto blanco en la figura de abajo tiene que ser completado con uno de los enteros $1, 2, ..., 9$ , sin repeticiones, tal que la suma de los tres números en el círculo externo sea igual a la suma de los cuatro números en cada círculo interno que no pertenezcan al círculo externo. $(a)$ Muestra una solución. $(b)$ Demuestra que, en cualquier solución, el número $9$ debe pertenecer al círculo externo.

Cuatro hermanos tienen juntos cuarenta y ocho Kwanzas. Si el dinero del primer hermano aumentara en tres Kwanzas, si el dinero del segundo hermano disminuyera en tres Kwanzas, si el dinero del tercer hermano se triplicara y si el dinero del último hermano se redujera a un tercio, entonces todos los hermanos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada hermano?

Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un múltiplo entero de $2022$ tal que la suma de los cuadrados de sus dígitos es igual a $n$.

Encuentra todos los pares $(a, p)$ de enteros positivos, donde $p$ es un número primo, tal que para cualquier par de enteros positivos $m$ y $n$ el residuo obtenido cuando $a^{2^n}$ se divide por $p^n$ es distinto de cero e igual al residuo obtenido cuando $a^{2^m}$ se divide por $p^m$.

Considera la secuencia $u_0, u_1, u_2, ...$ definida por $u_0 = 0, u_1 = 1,$ y $u_n = 6u_{n - 1} + 7u_{n - 2}$ para $n \ge 2$. Demuestra que no existen enteros no negativos $a, b, c, n$ tales que $$ab(a + b)(a^2 + ab + b^2) = c^{2022} + 42 = u_n.$$

Encuentra todas las cuádruplas de enteros positivos $(p, q, a, b)$, donde $p$ y $q$ son números primos y $a > 1$, tales que $$p^a = 1 + 5q^b.$$