La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:40 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 3)$ Se da un polígono (no necesariamente convexo) con vértices en los puntos de una red rectangular. El área del polígono es $S.$ Si $I$ es el número de puntos de la red que están estrictamente en el interior del polígono y $B$ es el número de puntos de la red en el borde del polígono, encuentre el número $T = 2S- B -2I + 2.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:27 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(CZS 3)$ Sean $a$ y $b$ dos números reales positivos. Si $x$ es una solución real de la ecuación $x^2 + px + q = 0$ con coeficientes reales $p$ y $q$ tales que $|p| \le a, |q| \le b,$ demuestre que $|x| \le \frac{1}{2}(a +\sqrt{a^2 + 4b})$. Recíprocamente, si $x$ satisface la desigualdad anterior, demuestre que existen números reales $p$ y $q$ con $|p|\le a, |q|\le b$ tales que $x$ es una de las raíces de la ecuación $x^2+px+ q = 0.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:35 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(CZS 5)$ Se da un cuadrilátero convexo $ABCD$ con lados $AB = a, BC = b, CD = c, DA = d$ y ángulos $\alpha = \angle DAB, \beta = \angle ABC, \gamma = \angle BCD,$ y $\delta = \angle CDA$. Sea $s = \frac{a + b + c +d}{2}$ y $P$ el área del cuadrilátero. Demuestre que $P^2 = (s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd \cos^2\frac{\alpha +\gamma}{2}$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:26 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(CZS 2)$ Sea $p$ un número primo impar. ¿Es posible encontrar $p-1$ números naturales $n + 1, n + 2, . . . , n + p -1$ tales que la suma de los cuadrados de estos números sea divisible por la suma de estos números? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:25 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(CZS 1)$ Dado un cubo unitario, encuentre el lugar geométrico de los centroides de todos los tetraedros cuyos vértices se encuentran en las aristas del cubo. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 3 de oct. de 2010, 11:51 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(HUN 2)$ Demuestre que $1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}<\frac{5}{4}$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:42 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 4)$ Un triángulo rectángulo $OAB$ tiene su ángulo recto en el punto $B.$ Un círculo arbitrario con centro en la recta $OB$ es tangente a la recta $OA.$ Sea $AT$ la tangente al círculo distinta de $OA$ ($T$ es el punto de tangencia). Demuestre que la mediana desde $B$ del triángulo $OAB$ corta a $AT$ en un punto $M$ tal que $MB = MT.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:37 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(CZS 6)$ Sean $d$ y $p$ dos números reales. Encuentre el primer término de una progresión aritmética $a_1, a_2, a_3, \cdots$ con diferencia $d$ tal que $a_1a_2a_3a_4 = p.$ Determine el número de soluciones en términos de $d$ y $p.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 2:04 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(GDR 2)^{IMO1}$ Demuestre que existen infinitos números naturales $a$ con la siguiente propiedad: El número $z = n^4 + a$ no es primo para ningún número natural $n.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rushil 1592 publicaciones Rushil #1 h 7 de nov. de 2005, 4:57 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para cada $k=1,2,3,4,5$ encuentre las condiciones necesarias y suficientes sobre $a>0$ tales que exista un tetraedro con $k$ aristas de longitud $a$ y el resto de longitud $1$. Z K Y