La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:48 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(GBR 3)$ Un sólido liso consiste en un cilindro circular recto de altura $h$ y radio de base $r$, coronado por un hemisferio de radio $r$ y centro $O.$ El sólido se encuentra sobre una mesa horizontal. Un extremo de una cuerda está unido a un punto en la base. La cuerda se estira (manteniéndose inicialmente en el plano vertical) sobre el punto más alto del sólido y se sujeta en el punto $P$ sobre el hemisferio de tal manera que $OP$ forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal. Demuestre que si $\alpha$ es lo suficientemente pequeño, la cuerda se aflojará si se desplaza ligeramente y ya no permanecerá en un plano vertical. Si luego se tensa a través de $P$, demuestre que cruzará la sección circular común del hemisferio y el cilindro en un punto $Q$ tal que $\angle SOQ = \phi$, siendo $S$ el punto donde cruzaba inicialmente esta sección, y $\sin \phi = \frac{r \tan \alpha}{h}$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:46 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(GBR 2)$ Sean $a, b, x, y$ enteros positivos tales que $a$ y $b$ no tienen ningún divisor común mayor que $1$. Demuestre que el número más grande que no se puede expresar de la forma $ax + by$ es $ab - a - b$. Si $N(k)$ es el número más grande que no se puede expresar de la forma $ax + by$ de exactamente $k$ maneras, encuentre $N(k).$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 2:04 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(GDR 2)^{IMO1}$ Demuestre que existen infinitos números naturales $a$ con la siguiente propiedad: El número $z = n^4 + a$ no es primo para ningún número natural $n.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathpk 199 publicaciones mathpk #1 h 22 de mar. de 2008, 10:32 a. m. • 3 Y Y por InCtrl, Adventure10 y otro usuario Sea $ ABC$ un triángulo con $ \angle A < 60^\circ$ . Sean $ X$ e $ Y$ los puntos en los lados $ AB$ y $ AC$ , respectivamente, tales que $ CA + AX = CB + BX$ y $ BA + AY = BC + CY$ . Sea $ P$ el punto en el plano tal que las rectas $ PX$ y $ PY$ son perpendiculares a $ AB$ y $ AC$ , respectivamente. Demuestre que $ \angle BPC < 120^\circ$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Mahdi_Mashayekhi 734 publicaciones Mahdi_Mashayekhi #1 h 21 de nov. de 2025, 11:45 a. m. Y en el triángulo $ABC$ con $\angle{CAB} = 15^\circ$ y $\angle{CBA} = 30^\circ$, los puntos $X$ e $Y$ yacen dentro del ángulo $\angle{BCA}$ tales que $\angle{BCX}=\angle{ACY}=45^\circ$ y $BC=CY$, $AC=CX$. Sea $Z$ el punto de intersección de la recta $XY$ con $AB$. Demuestre que $AZ=BC$. Propuesto por Mahdi Etesamifard - Irán Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de oct. de 2010, 1:03 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(HUN 6)$ Encuentre las posiciones de tres puntos $A,B,C$ en la frontera de un cubo unitario tales que $min\{AB,AC,BC\}$ sea el mayor posible. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:42 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 4)$ Un triángulo rectángulo $OAB$ tiene su ángulo recto en el punto $B.$ Un círculo arbitrario con centro en la recta $OB$ es tangente a la recta $OA.$ Sea $AT$ la tangente al círculo distinta de $OA$ ($T$ es el punto de tangencia). Demuestre que la mediana desde $B$ del triángulo $OAB$ corta a $AT$ en un punto $M$ tal que $MB = MT.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:43 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 5)$ Sea $\alpha(n)$ el número de pares $(x, y)$ de enteros tales que $x+y = n, 0 \le y \le x$, y sea $\beta(n)$ el número de ternas $(x, y, z)$ tales que $x + y + z = n$ y $0 \le z \le y \le x.$ Encuentre una relación simple entre $\alpha(n)$ y la parte entera del número $\frac{n+2}{2}$ y la relación entre $\beta(n), \beta(n -3)$ y $\alpha(n).$ Luego, evalúe $\beta(n)$ como una función del residuo de $n$ módulo $6.$ ¿Qué se puede decir acerca de $\beta(n)$ y $1+\frac{n(n+6)}{12}$? ¿Y qué hay de $\frac{(n+3)^2}{6}$? Encuentre el número de ternas $(x, y, z)$ con la propiedad $x+ y+ z \le n, 0 \le z \le y \le x$ como una función del residuo de $n$ módulo $6.$ ¿Qué se puede decir acerca de la relación entre este número y el número $\frac{(n+6)(2n^2+9n+12)}{72}$? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:44 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 6)$ Considere el entero $d = \frac{a^b-1}{c}$ , donde $a, b$ y $c$ son enteros positivos y $c \le a.$ Demuestre que el conjunto $G$ de enteros que están entre $1$ y $d$ y son primos relativos con $d$ (el número de tales enteros se denota por $\phi(d)$ ) puede ser particionado en $n$ subconjuntos, cada uno de los cuales consiste en $b$ elementos. ¿Qué se puede decir sobre el número racional $\frac{\phi(d)}{b}?$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:40 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 3)$ Se da un polígono (no necesariamente convexo) con vértices en los puntos de una red rectangular. El área del polígono es $S.$ Si $I$ es el número de puntos de la red que están estrictamente en el interior del polígono y $B$ es el número de puntos de la red en el borde del polígono, encuentre el número $T = 2S- B -2I + 2.$ Z K Y