Sean $a < b < c < d < e$ enteros positivos. Demuestra que $$\frac{1}{[a, b]} + \frac{1}{[b, c]} + \frac{1}{[c, d]} + \frac{2}{[d, e]} \le 1$$ donde $[x, y]$ es el mínimo común múltiplo de $x$ e $y$ (p.ej., $[6, 10] = 30$ ) . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Determine todos los pares $(k, n)$ de enteros positivos que satisfacen $$1! + 2! + ... + k! = 1 + 2 + ... + n.$$

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con hipotenusa $BC$ . La tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $A$ interseca la línea $BC$ en $T$ . Los puntos $D$ y $E$ se eligen de manera que $AD = BD, AE = CE,$ y $\angle CBD = \angle BCE < 90^{\circ}$ . Demuestra que $D, E,$ y $T$ son colineales.

Dado un triángulo acutángulo $ABC$ con ortocentro $H$ y circuncírculo $k$ . Sea $\omega$ el círculo con diámetro $AH$ y $P$ el punto de intersección de $\omega$ y $k$ distinto de $A$ . Asuma que $BP$ y $CP$ intersecan a $\omega$ por segunda vez en los puntos $Q$ y $R$ , respectivamente. Si $D$ es el pie de la altura desde $A$ a $BC$ y $S$ es el punto de intersección de $\omega$ y $QD$ , demuestra que $HR = HS$ .

Dado un triángulo equilátero $ABC$ y un punto arbitrario, denotado por $E$ , en el segmento de línea $BC$ . Sea $l$ la línea que pasa por $A$ paralela a $BC$ y sea $K$ el punto en $l$ tal que $KE$ es perpendicular a $BC$ . El círculo con centro $K$ y radio $KE$ interseca los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$ , respectivamente. La línea perpendicular a $AB$ en $M$ interseca a $l$ en $D$ , y la línea perpendicular a $AC$ en $N$ interseca a $l$ en $F$ . Demuestra que el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $MDA$ y $NFA$ pertenece a la línea $KE$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AH = HD$ , donde $H$ es el ortocentro de $ABC$ y $D \in BC$ es el pie de la altura desde el vértice $A$ . Sea $\ell$ la recta que pasa por $H$ que es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$ . Sean $S$ y $T$ los puntos de intersección de $\ell$ con $AB$ y $AC$ , respectivamente. Denotemos los puntos medios de $BH$ y $CH$ por $M$ y $N$ , respectivamente. Demuestra que las rectas $SM$ y $TN$ son paralelas.

Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $k$ . Los puntos $A_1, B_1,$ y $C_1$ en $k$ son los puntos medios de los arcos $\widehat{BC}$ (que no contiene a $A$ ) , $\widehat{AC}$ (que no contiene a $B$ ) , y $\widehat{AB}$ (que no contiene a $C$ ) , respectivamente. Los puntos distintos por pares $A_2, B_2,$ y $C_2$ son elegidos tal que los cuadriláteros $AB_1A_2C_1, BA_1B_2C_1,$ y $CA_1C_2B_1$ son paralelogramos. Prueba que $k$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $A_2B_2C_2$ tienen un centro común. Comentario. El punto $A_2$ también puede ser definido como la reflexión de $A$ con respecto al punto medio de $B_1C_1$ , y definiciones análogas pueden ser usadas para $B_2$ y $C_2$ .

Sea $ABCDE$ un pentágono cíclico tal que $BC = DE$ y $AB$ es paralelo a $DE$ . Sean $X, Y,$ y $Z$ los puntos medios de $BD, CE,$ y $AE$ respectivamente. Demuestra que $AE$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $XYZ$ .

Sea $n \ge 2$ un entero. En cada celda de una tabla de $4n \times 4n$ escribimos la suma del índice de la fila de la celda y el índice de la columna de la celda. Inicialmente, ninguna celda está coloreada. Un movimiento consiste en elegir dos celdas que no están coloreadas y colorear una de ellas en rojo y una de ellas en azul. Demuestra que, sin embargo, Alex realiza $n^2$ movimientos, Jane puede después realizar una cantidad de movimientos (eventualmente ninguno) después de lo cual la suma de los números escritos en las celdas rojas es la misma que la suma de los números escritos en las azules.

Sea $S$ un conjunto finito de puntos en el plano, tal que para cada 2 puntos $A$ y $B$ en $S$ , el segmento $AB$ es un lado de un polígono regular todos cuyos vértices están contenidos en $S$ . Encuentra todos los valores posibles para el número de elementos de $S$ .