La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 2:01 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(GBR 5)$ Sean $u_0 = 0, u_1 = 1$ y para $n\ge 0, u_{n+2} = au_{n+1}+bu_n,$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. Exprese $u_n$ como un polinomio en $a$ y $b.$ Demuestre el resultado. Dado que $b$ es primo, demuestre que $b$ divide a $a(u_b -1).$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:40 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 3)$ Se da un polígono (no necesariamente convexo) con vértices en los puntos de una red rectangular. El área del polígono es $S.$ Si $I$ es el número de puntos de la red que están estrictamente en el interior del polígono y $B$ es el número de puntos de la red en el borde del polígono, encuentre el número $T = 2S- B -2I + 2.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:46 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(GBR 2)$ Sean $a, b, x, y$ enteros positivos tales que $a$ y $b$ no tienen ningún divisor común mayor que $1$. Demuestre que el número más grande que no se puede expresar de la forma $ax + by$ es $ab - a - b$. Si $N(k)$ es el número más grande que no se puede expresar de la forma $ax + by$ de exactamente $k$ maneras, encuentre $N(k).$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:48 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(GBR 3)$ Un sólido liso consiste en un cilindro circular recto de altura $h$ y radio de base $r$, coronado por un hemisferio de radio $r$ y centro $O.$ El sólido se encuentra sobre una mesa horizontal. Un extremo de una cuerda está unido a un punto en la base. La cuerda se estira (manteniéndose inicialmente en el plano vertical) sobre el punto más alto del sólido y se sujeta en el punto $P$ sobre el hemisferio de tal manera que $OP$ forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal. Demuestre que si $\alpha$ es lo suficientemente pequeño, la cuerda se aflojará si se desplaza ligeramente y ya no permanecerá en un plano vertical. Si luego se tensa a través de $P$, demuestre que cruzará la sección circular común del hemisferio y el cilindro en un punto $Q$ tal que $\angle SOQ = \phi$, siendo $S$ el punto donde cruzaba inicialmente esta sección, y $\sin \phi = \frac{r \tan \alpha}{h}$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:44 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(GBR 1)$ Se dice que el polinomio $P(x) = a_0x^k + a_1x^{k-1} + \cdots + a_k$, donde $a_0,\cdots, a_k$ son enteros, es divisible por un entero $m$ si $P(x)$ es un múltiplo de $m$ para todo valor entero de $x$. Demuestre que si $P(x)$ es divisible por $m$, entonces $a_0 \cdot k!$ es un múltiplo de $m$. Demuestre también que si $a, k, m$ son enteros positivos tales que $ak!$ es un múltiplo de $m$, entonces se puede encontrar un polinomio $P(x)$ con término principal $ax^k$ que sea divisible por $m.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:38 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 1)$ Sean $a$ y $b$ dos enteros no negativos. Denotamos por $H(a, b)$ el conjunto de números $n$ de la forma $n = pa + qb,$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Determine $H(a) = H(a, a)$. Demuestre que si $a \neq b,$ es suficiente conocer todos los conjuntos $H(a, b)$ para números coprimos $a, b$ con el fin de conocer todos los conjuntos $H(a, b)$. Demuestre que en el caso de números coprimos $a$ y $b, H(a, b)$ contiene todos los números mayores o iguales a $\omega = (a - 1)(b - 1)$ y también $\frac{\omega}{2}$ números menores que $\omega$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:39 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 2)$ Sea $n$ un entero que no es divisible por ningún cuadrado mayor que $1.$ Denotamos por $x_m$ el último dígito del número $x^m$ en el sistema de numeración con base $n.$ ¿Para qué enteros $x$ es posible que $x_m$ sea $0$? Demuestre que la sucesión $x_m$ es periódica con periodo $t$ independiente de $x.$ ¿Para qué $x$ tenemos $x_t = 1$? Demuestre que si $m$ y $x$ son primos entre sí, entonces $0_m, 1_m, . . . , (n-1)_m$ son números diferentes. Encuentre el periodo mínimo $t$ en términos de $n.$ Si $n$ no cumple la condición dada, demuestre que es posible tener $x_m = 0 \neq x_1$ y que la sucesión es periódica comenzando solo a partir de algún número $k > 1.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 2:06 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(GDR 4)$ Encuentre el número máximo de regiones en las que una esfera puede ser dividida por $n$ círculos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:43 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 5)$ Sea $\alpha(n)$ el número de pares $(x, y)$ de enteros tales que $x+y = n, 0 \le y \le x$, y sea $\beta(n)$ el número de ternas $(x, y, z)$ tales que $x + y + z = n$ y $0 \le z \le y \le x.$ Encuentre una relación simple entre $\alpha(n)$ y la parte entera del número $\frac{n+2}{2}$ y la relación entre $\beta(n), \beta(n -3)$ y $\alpha(n).$ Luego, evalúe $\beta(n)$ como una función del residuo de $n$ módulo $6.$ ¿Qué se puede decir acerca de $\beta(n)$ y $1+\frac{n(n+6)}{12}$? ¿Y qué hay de $\frac{(n+3)^2}{6}$? Encuentre el número de ternas $(x, y, z)$ con la propiedad $x+ y+ z \le n, 0 \le z \le y \le x$ como una función del residuo de $n$ módulo $6.$ ¿Qué se puede decir acerca de la relación entre este número y el número $\frac{(n+6)(2n^2+9n+12)}{72}$? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 2:01 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(GBR 4)$ El segmento $AB$ biseca perpendicularmente a $CD$ en $X$. Demuestre que, sujeto a restricciones, existe un cono circular recto cuyo eje pasa por $X$ y en cuya superficie yacen los puntos $A,B,C,D.$ ¿Cuáles son las restricciones? Z K Y