Llamamos a un entero positivo par $n$ agradable si el conjunto $\{1, 2, \dots, n\}$ se puede dividir en $\frac{n}{2}$ subconjuntos de dos elementos, de tal manera que la suma de los elementos en cada subconjunto es una potencia de $3$ . Por ejemplo, $6$ es agradable, porque el conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ se puede dividir en subconjuntos $\{1, 2\}$ , $\{3, 6\}$ , $\{4, 5\}$ . Encuentra el número de enteros positivos agradables que son menores que $3^{2022}$ .

Hay $200$ cajas sobre la mesa. Al principio, cada una de las cajas contiene un entero positivo (los enteros no son necesariamente distintos). Cada minuto, Alice hace un movimiento. Un movimiento consiste en lo siguiente. Primero, ella elige una caja $X$ que contiene un número $c$ tal que $c = a + b$ para algunos números $a$ y $b$ que están contenidos en algunas otras cajas. Luego ella elige un entero positivo $k > 1$ . Finalmente, ella elimina $c$ de $X$ y lo reemplaza con $kc$ . Si no puede hacer ningún movimiento, se detiene. Demuestra que no importa cómo Alice haga sus movimientos, no podrá hacer infinitos movimientos.

Sea $n \ge 2$ un entero. Alex escribe los números $1, 2, ..., n$ en algún orden en un círculo de tal manera que dos vecinos cualesquiera sean coprimos. Entonces, para dos números cualesquiera que no sean coprimos, Alex dibuja un segmento de línea entre ellos. Para cada segmento $s$ denotamos por $d_s$ la diferencia de los números escritos en sus extremos y por $p_s$ el número de todos los demás segmentos dibujados que intersectan $s$ en su interior. Encuentra el mayor $n$ para el cual Alex puede escribir los números en el círculo de tal manera que $p_s \le |d_s|$ , para cada segmento dibujado $s$ .

Ana y Bob, comenzando Ana primero, alternativamente colorean los enteros del conjunto $S = \{1, 2, ..., 2022 \}$ rojo o azul. En su turno, cada uno puede colorear cualquier número sin colorear de $S$ que desee con cualquier color que desee. El juego termina cuando todos los números de $S$ son coloreados. Sea $N$ el número de pares $(a, b)$ , donde $a$ y $b$ son elementos de $S$ , tales que $a$ , $b$ tienen el mismo color, y $b - a = 3$ . Ana desea maximizar $N$ . ¿Cuál es el valor máximo de $N$ que puede alcanzar independientemente de cómo juegue Bob?

Sean $a, b,$ y $c$ números reales positivos tales que $a^2 + b^2 + c^2 = 3$ . Demostrar que $$\frac{a^2 + b^2}{2ab} + \frac{b^2 + c^2}{2bc} + \frac{c^2 + a^2}{2ca} + \frac{2(ab + bc + ca)}{3} \ge 5 + |(a - b)(b - c)(c - a)|.$$

Los números $2, 2, ..., 2$ están escritos en una pizarra (el número $2$ se repite $n$ veces). Un paso consiste en elegir dos números de la pizarra, denotándolos como $a$ y $b$, y reemplazándolos con $\sqrt{\frac{ab + 1}{2}}$. $(a)$ Si $x$ es el número que queda en la pizarra después de $n - 1$ aplicaciones de la operación anterior, demuestre que $x \ge \sqrt{\frac{n + 3}{n}}$. $(b)$ Demuestre que hay infinitos números para los cuales se cumple la igualdad e infinitos para los cuales la desigualdad es estricta.

Suponga que $a, b,$ y $c$ son números reales positivos tales que $$a + b + c \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.$$ Encuentra el valor más grande posible de la expresión $$\frac{a + b - c}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{b + c - a}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{c + a - b}{c^3 + a^3 + abc}.$$

Sean $a, b,$ y $c$ números reales positivos tales que $a + b + c = 1$. Demuestra la siguiente desigualdad $$a \sqrt[3]{\frac{b}{a}} + b \sqrt[3]{\frac{c}{b}} + c \sqrt[3]{\frac{a}{c}} \le ab + bc + ca + \frac{2}{3}.$$

Sean $x, y,$ y $z$ números reales positivos tales que $xy + yz + zx = 3$. Demuestra que $$\frac{x + 3}{y + z} + \frac{y + 3}{z + x} + \frac{z + 3}{x + y} + 3 \ge 27 \cdot \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^2}{(x + y + z)^3}.$$

Encuentra todos los pares de enteros positivos $(a, b)$ tales que $$11ab \le a^3 - b^3 \le 12ab.$$\n