La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathpk 199 publicaciones mathpk #1 h 22 de mar. de 2008, 10:40 a. m. • 6 Y Y por Davi-8191, tenplusten, Adventure10, TFIRSTMGMEDALIST y otros 2 usuarios. Los estudiantes de una clase forman grupos, cada uno de los cuales contiene exactamente tres miembros, de tal manera que cualesquiera dos grupos distintos tienen a lo sumo un miembro en común. Demuestre que, cuando el tamaño de la clase es $ 46$ , existe un conjunto de $ 10$ estudiantes en el cual ningún grupo está contenido propiamente. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:40 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 3)$ Se da un polígono (no necesariamente convexo) con vértices en los puntos de una red rectangular. El área del polígono es $S.$ Si $I$ es el número de puntos de la red que están estrictamente en el interior del polígono y $B$ es el número de puntos de la red en el borde del polígono, encuentre el número $T = 2S- B -2I + 2.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:43 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 5)$ Sea $\alpha(n)$ el número de pares $(x, y)$ de enteros tales que $x+y = n, 0 \le y \le x$, y sea $\beta(n)$ el número de ternas $(x, y, z)$ tales que $x + y + z = n$ y $0 \le z \le y \le x.$ Encuentre una relación simple entre $\alpha(n)$ y la parte entera del número $\frac{n+2}{2}$ y la relación entre $\beta(n), \beta(n -3)$ y $\alpha(n).$ Luego, evalúe $\beta(n)$ como una función del residuo de $n$ módulo $6.$ ¿Qué se puede decir acerca de $\beta(n)$ y $1+\frac{n(n+6)}{12}$? ¿Y qué hay de $\frac{(n+3)^2}{6}$? Encuentre el número de ternas $(x, y, z)$ con la propiedad $x+ y+ z \le n, 0 \le z \le y \le x$ como una función del residuo de $n$ módulo $6.$ ¿Qué se puede decir acerca de la relación entre este número y el número $\frac{(n+6)(2n^2+9n+12)}{72}$? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 2:01 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(GBR 5)$ Sean $u_0 = 0, u_1 = 1$ y para $n\ge 0, u_{n+2} = au_{n+1}+bu_n,$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. Exprese $u_n$ como un polinomio en $a$ y $b.$ Demuestre el resultado. Dado que $b$ es primo, demuestre que $b$ divide a $a(u_b -1).$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 2:02 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(GDR 1)$ Encuentre todos los números reales $\lambda$ tales que la ecuación $\sin^4 x - \cos^4 x = \lambda(\tan^4 x - \cot^4 x)$ $(a)$ no tiene solución, $(b)$ tiene exactamente una solución, $(c)$ tiene exactamente dos soluciones, $(d)$ tiene más de dos soluciones (en el intervalo $(0, \frac{\pi}{4}).$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:38 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 1)$ Sean $a$ y $b$ dos enteros no negativos. Denotamos por $H(a, b)$ el conjunto de números $n$ de la forma $n = pa + qb,$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Determine $H(a) = H(a, a)$. Demuestre que si $a \neq b,$ es suficiente conocer todos los conjuntos $H(a, b)$ para números coprimos $a, b$ con el fin de conocer todos los conjuntos $H(a, b)$. Demuestre que en el caso de números coprimos $a$ y $b, H(a, b)$ contiene todos los números mayores o iguales a $\omega = (a - 1)(b - 1)$ y también $\frac{\omega}{2}$ números menores que $\omega$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:39 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 2)$ Sea $n$ un entero que no es divisible por ningún cuadrado mayor que $1.$ Denotamos por $x_m$ el último dígito del número $x^m$ en el sistema de numeración con base $n.$ ¿Para qué enteros $x$ es posible que $x_m$ sea $0$? Demuestre que la sucesión $x_m$ es periódica con periodo $t$ independiente de $x.$ ¿Para qué $x$ tenemos $x_t = 1$? Demuestre que si $m$ y $x$ son primos entre sí, entonces $0_m, 1_m, . . . , (n-1)_m$ son números diferentes. Encuentre el periodo mínimo $t$ en términos de $n.$ Si $n$ no cumple la condición dada, demuestre que es posible tener $x_m = 0 \neq x_1$ y que la sucesión es periódica comenzando solo a partir de algún número $k > 1.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 925 publicaciones mathisreal #1 h 7 de oct. de 2017, 6:38 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Queremos cubrir totalmente un cuadrado (de lado igual a un entero $k$ y $k>1$) con estos rectángulos: $1$ rectángulo ($1\times 1$), $2$ rectángulos ($2\times 1$), $4$ rectángulos ($3\times 1$), ..., $2^n$ rectángulos ($n + 1 \times 1$), de tal manera que los rectángulos no puedan superponerse y no excedan los límites del cuadrado. Encuentre todos los $k$ tales que esto sea posible y, para cada $k$ encontrado, debe dibujar una solución. Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por mathisreal, 17 de sep. de 2018, 4:57 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathpk 199 publicaciones mathpk #1 h 22 de mar. de 2008, 10:35 a. m. • 7 Y Y por Davi-8191, Invincible11, Adventure10, Adventure10, mathematicsy, Rounak_iitr y otro usuario más. Sea $ \Gamma$ el circuncírculo de un triángulo $ ABC$ . Un círculo que pasa por los puntos $ A$ y $ C$ corta a los lados $ BC$ y $ BA$ en $ D$ y $ E$ , respectivamente. Las rectas $ AD$ y $ CE$ cortan a $ \Gamma$ nuevamente en $ G$ y $ H$ , respectivamente. Las rectas tangentes a $ \Gamma$ en $ A$ y $ C$ cortan a la recta $ DE$ en $ L$ y $ M$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $ LH$ y $ MG$ se cortan en $ \Gamma$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:44 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(GBR 1)$ Se dice que el polinomio $P(x) = a_0x^k + a_1x^{k-1} + \cdots + a_k$, donde $a_0,\cdots, a_k$ son enteros, es divisible por un entero $m$ si $P(x)$ es un múltiplo de $m$ para todo valor entero de $x$. Demuestre que si $P(x)$ es divisible por $m$, entonces $a_0 \cdot k!$ es un múltiplo de $m$. Demuestre también que si $a, k, m$ son enteros positivos tales que $ak!$ es un múltiplo de $m$, entonces se puede encontrar un polinomio $P(x)$ con término principal $ax^k$ que sea divisible por $m.$ Z K Y