Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y sea $M$ el punto medio de $AC$ . Un punto $P$ (distinto de $B$ ) se elige en el segmento $BC$ de tal manera que $AB=AP$ . Sea $D$ la intersección de $AC$ con el circuncírculo de $\bigtriangleup ABP$ distinto de $A$ , y $E$ la intersección de $PM$ con el circuncírculo de $\bigtriangleup ABP$ distinto de $P$ . Sea $K$ la intersección de las líneas $AP$ y $DE$ . Sea $F$ un punto en $BC$ (distinto de $P$ ) tal que $KP=KF$ . Demuestra que $C,\ D,\ E$ y $F$ se encuentran en el mismo círculo.

Sea $n \geq 3$ un entero y $a_1,a_2,...,a_n$ números reales positivos tales que $m$ es el más pequeño y $M$ es el más grande de estos números. Se sabe que para cualquier entero distinto $1 \leq i,j,k \leq n$ , si $a_i \leq a_j \leq a_k$ entonces $a_ia_k \leq a_j^2$ . Demuestra que \[ a_1a_2 \cdots a_n \geq m^2M^{n-2} \] y determina cuándo se cumple la igualdad

Hay $2021$ personas en una reunión. Se sabe que una persona en la reunión no tiene amigos allí y otra persona tiene solo un amigo allí. Además, es cierto que, dadas $4$ personas cualesquiera, al menos $2$ de ellas son amigas. Demuestra que hay $2018$ personas en la reunión que son todas amigas entre sí. Nota. Si $A$ es amigo de $B$ entonces $B$ es un amigo de $A$ .

En una tabla que consiste en $2021\times 2021$ cuadrados unitarios, algunos cuadrados unitarios están coloreados de negro de tal manera que si colocamos un ratón en el centro de cualquier cuadrado en la tabla, puede caminar en línea recta (arriba, abajo, izquierda o derecha a lo largo de una columna o fila) y salir de la tabla sin caminar sobre ningún cuadrado negro (aparte del inicial si es negro). ¿Cuál es el número máximo de cuadrados que se pueden colorear de negro?

Sea $ABC$ un triángulo y sea $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $D$ un punto en $AB$ tal que $CD$ es paralelo a la línea tangente a $\Gamma$ en $A$ . Sea $E$ la intersección de $CD$ con $\Gamma$ distinta de $C$ , y $F$ la intersección de $BC$ con el circuncírculo de $\bigtriangleup ADC$ distinta de $C$ . Finalmente, sea $G$ la intersección de la línea $AB$ y la bisectriz interna de $\angle DCF$ . Demuestra que $E,\ G,\ F$ y $C$ se encuentran en el mismo círculo.

Una terna ordenada $(p, q, r)$ de números primos se llama parcera si $p$ divide a $q^2-4$ , $q$ divide a $r^2-4$ y $r$ divide a $p^2-4$ . Encuentra todas las ternas parceras.

Sea $S$ un cuadrado con lados de longitud $100$ . Sea $L$ un camino dentro de $S$ que no se cruza a sí mismo y que se compone de segmentos de línea $A_0A_1,A_1A_2,A_2A_3,\ldots,A_{n-1}A_n$ con $A_0=A_n$ . Suponga que para cada punto $P$ en el límite de $S$ hay un punto de $L$ a una distancia de $P$ no mayor que $\frac {1} {2}$ . Demuestre que hay dos puntos $X$ e $Y$ de $L$ tales que la distancia entre $X$ e $Y$ no es mayor que $1$ y la longitud de la parte de $L$ que se encuentra entre $X$ e $Y$ no es menor que $198$ .

Las diagonales $AC$ y $CE$ del hexágono regular $ABCDEF$ están divididas por los puntos interiores $M$ y $N$ respectivamente, de modo que \[ {AM\over AC}={CN\over CE}=r. \] Determine $r$ si $B,M$ y $N$ son colineales.

Pruebe que si $n$ es un entero positivo tal que la ecuación \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] tiene una solución en enteros $x,y$ , entonces tiene al menos tres soluciones de este tipo. Demuestre que la ecuación no tiene soluciones en enteros para $n=2891$ .

Considere secuencias infinitas $\{x_n\}$ de reales positivos tales que $x_0=1$ y $x_0\ge x_1\ge x_2\ge\ldots$ . a) Demuestre que para cada secuencia existe un $n\ge1$ tal que: \[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}\ge3.999. \] b) Encuentre una secuencia tal que para todos $n$ : \[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}<4. \]