Un triángulo no isósceles $A_{1}A_{2}A_{3}$ tiene lados $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ con el lado $a_{i}$ opuesto al vértice $A_{i}$ . Sea $M_{i}$ el punto medio del lado $a_{i}$ , y sea $T_{i}$ el punto donde el círculo inscrito del triángulo $A_{1}A_{2}A_{3}$ toca el lado $a_{i}$ . Denotemos por $S_{i}$ la reflexión del punto $T_{i}$ en la bisectriz del ángulo interior del ángulo $A_{i}$ . Pruebe que las líneas $M_{1}S_{1}$ , $M_{2}S_{2}$ y $M_{3}S_{3}$ son concurrentes.

La función $f(n)$ se define en los enteros positivos y toma valores enteros no negativos. $f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=3333$ y para todos $m,n:$ \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ o } 1. \] Determinar $f(1982)$ .

Para un entero positivo $n$, dos jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego: Dado una pila de $s$ piedras, los jugadores toman turnos alternativamente con $A$ yendo primero. En cada turno el jugador puede tomar ya sea una piedra, o un número primo de piedras, o un múltiplo positivo de $n$ piedras. El ganador es aquel que toma la última piedra. Asumiendo que ambos $A$ y $B$ juegan perfectamente, ¿para cuántos valores de $s$ el jugador $A$ no puede ganar?

Para números reales positivos $a,b,c$ con $abc=1$ prueba que $\left(a+\frac{1}{b}\right)^{2}+\left(b+\frac{1}{c}\right)^{2}+\left(c+\frac{1}{a}\right)^{2}\geq 3(a+b+c+1)$

Considera un triángulo acutángulo $ABC$ de área $S$. Sea $CD \perp AB$ ($D \in AB$), $DM \perp AC$ ($M \in AC$) y $DN \perp BC$ ($N \in BC$). Denotemos por $H_1$ y $H_2$ a los ortocentros de los triángulos $MNC$, respectivamente $MND$. Encuentra el área del cuadrilátero $AH_1BH_2$ en términos de $S$.

Encuentra todas las ternas de primos $(p,q,r)$ que satisfacen $3p^{4}-5q^{4}-4r^{2}=26$.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y sus diagonales tienen un punto común $M$. Se sabe que los circuncentros de los triángulos $MAB,MBC,MCD,MDE,MEF,MFA$ se encuentran en un círculo. Demuestre que los cuadriláteros $ABDE,BCEF,CDFA$ tienen áreas iguales.

El conjunto de números reales positivos no nulos se divide en tres subconjuntos mutuamente disjuntos no vacíos $(A\cup B\cup C)$. a) Demuestre que existe un triángulo de longitudes de lado $a,b,c$, tal que $a\in A, b\in B, c\in C$. b) ¿Siempre sucede que existe un triángulo rectángulo con la propiedad anterior?

¿Existe una función $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(x+f(y))=f(x)+\sin y$, para todos los reales $x,y$?

Demuestre que hay una infinidad de enteros positivos $n$ tales que $2^{n}+3^{n}$ es divisible por $n^{2}$.