La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. danepale 99 publicaciones danepale #1 h 20 de sep. de 2014, 1:36 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ e incentro $I$. Sea $E$ el punto en el lado $AC$ tal que $AE = AB$. Sea $G$ el punto en la recta $EI$ tal que $\angle IBG = \angle CBA$ y tal que $E$ y $G$ se encuentren en lados opuestos de $I$. Demuestre que la recta $AI$, la recta perpendicular a $AE$ en $E$ y la bisectriz del ángulo $\angle BGI$ son concurrentes. Z K Y

Determine todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[ xf(y) + f(xf(y)) - xf(f(y)) - f(xy) = 2x + f(y) - f(x+y)\] se cumple para todo $x,y \in \mathbb{R}$.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bambaman 345 publicaciones bambaman #1 h 5 de noviembre de 2008, 7:16 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para cada número natural $ t$ , $ f(t)$ es la probabilidad de que, si se lanza una moneda justa $ t$ veces, el número de veces que obtenemos cara sea 2008 más que el número de veces que obtenemos cruz. ¿Cuál es el valor de $ t$ para el cual $ f(t)$ alcanza su máximo? (si hay más de uno, descríbalos todos) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathpk 199 publicaciones mathpk #1 h 22 de mar. de 2008, 10:43 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Considere la función $ f: \mathbb{N}_0\to\mathbb{N}_0$ , donde $ \mathbb{N}_0$ es el conjunto de todos los enteros no negativos, definida por las siguientes condiciones: $ (i)$ $ f(0) = 0$ ; $ (ii)$ $ f(2n) = 2f(n)$ y $ (iii)$ $ f(2n + 1) = n + 2f(n)$ para todo $ n\geq 0$ . $ (a)$ Determine los tres conjuntos $ L = \{ n | f(n) < f(n + 1) \}$ , $ E = \{n | f(n) = f(n + 1) \}$ y $ G = \{n | f(n) > f(n + 1) \}$ . $ (b)$ Para cada $ k \geq 0$ , encuentre una fórmula para $ a_k = \max\{f(n) : 0 \leq n \leq 2^k\}$ en términos de $ k$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de oct. de 2010, 1:22 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(NET 1)$ Los vértices de un $(n + 1)-$ gono se colocan sobre los lados de un $n-$ gono regular de tal manera que el perímetro del $n-$ gono se divide en partes iguales. ¿Cómo se deben elegir estos $n + 1$ puntos para obtener el $(n + 1)-$ gono con $(a)$ área máxima; $(b)$ área mínima? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mavropnevma 15142 publicaciones mavropnevma #1 h 23 de julio de 2013, 2:06 AM • 6 Y Y por Amir Hossein, Vietjung, Adventure10, Mango247 y otros 2 usuarios Demuestre que todo polinomio de cuarto grado puede representarse de la forma $P(Q(x))+R(S(x))$, donde $P,Q,R,S$ son trinomios cuadráticos. A. Golovanov EDIT. Se confirma que asumir que los coeficientes son números reales, al resolver el problema, obtuvo la puntuación máxima. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. danepale 99 publicaciones danepale #1 h 20 de sep. de 2014, 1:51 p. m. • 3 Y Y por guangzhou-2015, Adventure10, Mango247 Para enteros $n \ge k \ge 0$ definimos el coeficiente bibinomial $\left( \binom{n}{k} \right)$ mediante \[ \left( \binom{n}{k} \right) = \frac{n!!}{k!!(n-k)!!} .\] Determine todos los pares $(n,k)$ de enteros con $n \ge k \ge 0$ tales que el coeficiente bibinomial correspondiente sea un entero. Observación: El doble factorial $n!!$ se define como el producto de todos los enteros positivos pares hasta $n$ si $n$ es par, y el producto de todos los enteros positivos impares hasta $n$ si $n$ es impar. Por ejemplo, $0!! = 1$ , $4!! = 2 \cdot 4 = 8$ , y $7!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathpk 199 publicaciones mathpk #1 h 22 de mar. de 2008, 10:35 a. m. • 7 Y Y por Davi-8191, Invincible11, Adventure10, Adventure10, mathematicsy, Rounak_iitr y otro usuario más. Sea $ \Gamma$ el circuncírculo de un triángulo $ ABC$ . Un círculo que pasa por los puntos $ A$ y $ C$ corta a los lados $ BC$ y $ BA$ en $ D$ y $ E$ , respectivamente. Las rectas $ AD$ y $ CE$ cortan a $ \Gamma$ nuevamente en $ G$ y $ H$ , respectivamente. Las rectas tangentes a $ \Gamma$ en $ A$ y $ C$ cortan a la recta $ DE$ en $ L$ y $ M$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $ LH$ y $ MG$ se cortan en $ \Gamma$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:00 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $ ABCD$ es un cuadrilátero. $ A'BCD'$ es la reflexión de $ ABCD$ en $ BC,$ $ A''B'CD'$ es la reflexión de $ A'BCD'$ en $ CD'$ y $ A''B''C'D'$ es la reflexión de $ A''B'CD'$ en $ D'A''.$ Demuestre que, si las rectas $ AA''$ y $ BB''$ son paralelas, entonces $ ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 12 de septiembre de 2008, 7:14 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 2:58 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El entero positivo $n$ tiene la propiedad de que, en cualquier conjunto de $n$ enteros, elegidos de los enteros $1, 2, \ldots, 1988,$ veintinueve de ellos forman una progresión aritmética. Demuestre que $n > 1788.$ Z K Y