Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, con $\angle BAC=\angle DAC$ y $M$ un punto interior tal que $\angle MBA=\angle MCD$ y $\angle MBC=\angle MDC$. Demuestre que el ángulo $\angle ADC$ es igual a $\angle BMC$ o $\angle AMB$.

Se dan $111$ monedas y una tabla de $n\times n$ dividida en celdas unitarias. Estas monedas se colocan dentro de las celdas unitarias (una celda unitaria puede contener una moneda, muchas monedas o puede estar vacía), de tal manera que la diferencia entre el número de monedas de dos celdas vecinas (que tienen una arista común) es $1$. Encuentre el $n$ máximo para que esto sea posible.

Sea $n \ge 2018$ un entero, y sean $a_1, a_2, \dots, a_n, b_1, b_2, \dots, b_n$ enteros positivos distintos por pares que no exceden $5n$. Suponga que la secuencia \[ \frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \dots, \frac{a_n}{b_n} \] forma una progresión aritmética. Demuestra que los términos de la secuencia son iguales.

Sea $f : \{ 1, 2, 3, \dots \} \to \{ 2, 3, \dots \}$ una función tal que $f(m + n) | f(m) + f(n)$ para todos los pares $m,n$ de enteros positivos. Demuestra que existe un entero positivo $c > 1$ que divide todos los valores de $f$.

Cuatro enteros positivos $x,y,z$ y $t$ satisfacen las relaciones \[ xy - zt = x + y = z + t. \] ¿Es posible que tanto $xy$ como $zt$ sean cuadrados perfectos?

Sean $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ una secuencia infinita de enteros positivos. Suponga que hay un entero $N > 1$ tal que, para cada $n \geq N$ , el número $$\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$ es un entero. Demuestre que hay un entero positivo $M$ tal que $a_m = a_{m+1}$ para todo $m \geq M$.

Defina la secuencia $a_0,a_1,a_2,\hdots$ por $a_n=2^n+2^{\lfloor n/2\rfloor}$. Demuestre que hay infinitos términos de la secuencia que pueden ser expresados como una suma de (dos o más) términos distintos de la secuencia, así como infinitos de aquellos que no pueden ser expresados de tal manera.

Sea $n>1$ un entero positivo. Cada celda de una tabla de $n\times n$ contiene un entero. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: Cada número en la tabla es congruente a $1$ módulo $n$. La suma de los números en cualquier fila, así como la suma de los números en cualquier columna, es congruente a $n$ módulo $n^2$. Sea $R_i$ el producto de los números en la $i^{\text{th}}$ fila, y $C_j$ el producto del número en la $j^{\text{th}}$ columna. Demuestre que las sumas $R_1+\hdots R_n$ y $C_1+\hdots C_n$ son congruentes módulo $n^4$.

Determinar todos los pares $(n, k)$ de enteros positivos distintos tales que exista un entero positivo $s$ para el cual el número de divisores de $sn$ y de $sk$ sean iguales.

Sea $O$ el circuncentro y $\Omega$ el circuncírculo de un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $P$ un punto arbitrario en $\Omega$ , distinto de $A$ , $B$ , $C$ y sus antípodas en $\Omega$ . Denote los circuncentros de los triángulos $AOP$ , $BOP$ y $COP$ por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Las líneas $\ell_A$ , $\ell_B$ , $\ell_C$ perpendiculares a $BC$ , $CA$ y $AB$ pasan por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Demuestre que el circuncírculo del triángulo formado por $\ell_A$ , $\ell_B$ y $\ell_C$ es tangente a la línea $OP$ .