La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:25 PM • 4 Y Y por Adventure10, Mango247, Mango247, Mango247 Encuentre todos los enteros positivos $x$ tales que el producto de todos los dígitos de $x$ esté dado por $x^2 - 10 \cdot x - 22.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:34 PM • 1 Y Y por Adventure10 Para cada entero positivo $ k$ y $ n,$ sea $ S_k(n)$ la suma de los dígitos de $ n$ en base $ k.$ Demuestre que existen a lo sumo dos números primos $ p$ menores que $20,000$ para los cuales $ S_{31}(p)$ son números compuestos con al menos dos divisores primos distintos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:22 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $x = p, y = q, z = r, w = s$ la solución única del sistema de ecuaciones lineales \[ x + a_i \cdot y + a^2_i \cdot z + a^3_i \cdot w = a^4_i, i = 1,2,3,4. \] Exprese las soluciones del siguiente sistema en términos de $p,q,r$ y $s:$ \[ x + a^2_i \cdot y + a^4_i \cdot z + a^6_i \cdot w = a^8_i, i = 1,2,3,4. \] Asuma la unicidad de la solución. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:25 PM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Mango247 Sea $ p$ el producto de dos enteros consecutivos mayores que 2. Demuestre que no existen enteros $ x_1, x_2, \ldots, x_p$ que satisfagan la ecuación \[ \sum^p_{i = 1} x^2_i - \frac {4}{4 \cdot p + 1} \left( \sum^p_{i = 1} x_i \right)^2 = 1 \] O BIEN Demuestre que solo existen dos valores de $ p$ para los cuales hay enteros $ x_1, x_2, \ldots, x_p$ que satisfacen \[ \sum^p_{i = 1} x^2_i - \frac {4}{4 \cdot p + 1} \left( \sum^p_{i = 1} x_i \right)^2 = 1 \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:11 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $ S$ es el conjunto de todas las sucesiones $ \{a_i| 1 \leq i \leq 7, a_i = 0 \text{ o } 1\}.$ La distancia entre dos elementos $ \{a_i\}$ y $ \{b_i\}$ de $ S$ se define como \[ \sum^7_{i = 1} |a_i - b_i|. \] $ T$ es un subconjunto de $ S$ en el cual cualesquiera dos elementos tienen una distancia mayor o igual a 3. Demuestre que $ T$ contiene como máximo 16 elementos. Dé un ejemplo de dicho subconjunto con 16 elementos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:12 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para un polígono convexo $P$ en el plano, sea $P'$ el polígono convexo con vértices en los puntos medios de los lados de $P.$ Dado un entero $n \geq 3,$ determine cotas precisas para la razón \[ \frac{\text{área } P'}{\text{área } P}, \] sobre todos los $n$-ágonos convexos $P.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:07 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado un conjunto de 1988 puntos en el plano. No hay cuatro puntos del conjunto que sean colineales. Los puntos de un subconjunto con 1788 puntos están coloreados de azul, los 200 restantes están coloreados de rojo. Demuestre que existe una recta en el plano tal que cada una de las dos partes en las que la recta divide al plano contiene 894 puntos azules y 100 puntos rojos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:06 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Suponga que $\alpha_i > 0, \beta_i > 0$ para $1 \leq i \leq n, n > 1$ y que \[ \sum^n_{i=1} \alpha_i = \sum^n_{i=1} \beta_i = \pi. \] Demuestre que \[ \sum^n_{i=1} \frac{\cos(\beta_i)}{\sin(\alpha_i)} \leq \sum^n_{i=1} \cot(\alpha_i). \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:14 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En el espacio tridimensional se da un punto $O$ y un conjunto finito $A$ de segmentos con una suma de longitudes igual a $1988$. Demuestre que existe un plano disjunto de $A$ tal que la distancia desde él hasta $O$ no excede $574$. Z K Y

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