Un cuadrilátero convexo $ABCD$ satisface $AB\cdot CD = BC\cdot DA$ . El punto $X$ se encuentra dentro de $ABCD$ de manera que \[\angle{XAB} = \angle{XCD}\quad\,\,\text{y}\quad\,\,\angle{XBC} = \angle{XDA}.\] Demuestre que $\angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^\circ$ .

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\Omega$ e incentro $I$ . Una línea $\ell$ interseca las líneas $AI$ , $BI$ y $CI$ en los puntos $D$ , $E$ y $F$ , respectivamente, distintos de los puntos $A$ , $B$ , $C$ e $I$ . Las bisectrices perpendiculares $x$ , $y$ y $z$ de los segmentos $AD$ , $BE$ y $CF$ , respectivamente, determinan un triángulo $\Theta$ . Demuestre que el circuncírculo del triángulo $\Theta$ es tangente a $\Omega$ .

Un punto $T$ se elige dentro de un triángulo $ABC$. Sean $A_1$ , $B_1$ y $C_1$ las reflexiones de $T$ en $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente. Sea $\Omega$ el circuncírculo del triángulo $A_1B_1C_1$ . Las líneas $A_1T$ , $B_1T$ y $C_1T$ se encuentran con $\Omega$ de nuevo en $A_2$ , $B_2$ y $C_2$ , respectivamente. Demuestre que las líneas $AA_2$ , $BB_2$ y $CC_2$ son concurrentes en $\Omega$ .

Se da un círculo $\omega$ con radio $1$. Una colección $T$ de triángulos se llama buena, si se cumplen las siguientes condiciones: cada triángulo de $T$ está inscrito en $\omega$; no hay dos triángulos de $T$ que tengan un punto interior común. Determinar todos los números reales positivos $t$ tales que, para cada entero positivo $n$, existe una colección buena de $n$ triángulos, cada uno con un perímetro mayor que $t$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. Sea $P$ un punto tal que $PB<PC$ y $PA$ es paralelo a $BC$. Sean $X$ e $Y$ puntos en las rectas $PB$ y $PC$, respectivamente, de modo que $B$ está en el segmento $PX$, $C$ está en el segmento $PY$, y $\angle PXM=\angle PYM$. Demostrar que el cuadrilátero $APXY$ es cíclico.

Sea $\Gamma$ el circuncírculo del triángulo acutángulo $ABC$. Los puntos $D$ y $E$ están en los segmentos $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que $AD = AE$. Las bisectrices perpendiculares de $BD$ y $CE$ intersecan los arcos menores $AB$ y $AC$ de $\Gamma$ en los puntos $F$ y $G$ respectivamente. Demostrar que las rectas $DE$ y $FG$ son paralelas o son la misma recta.

Consideremos $2018$ círculos que se cruzan por pares, de los cuales no hay tres que sean concurrentes. Estos círculos subdividen el plano en regiones delimitadas por $aristas$ circulares que se encuentran en $vértices$. Notemos que hay un número par de vértices en cada círculo. Dado el círculo, coloreamos alternativamente los vértices de ese círculo de rojo y azul. Al hacer esto para cada círculo, cada vértice se colorea dos veces: una por cada uno de los dos círculos que se cruzan en ese punto. Si los dos colores coinciden en un vértice, entonces se le asigna ese color; de lo contrario, se vuelve amarillo. Demostrar que, si algún círculo contiene al menos $2061$ puntos amarillos, entonces los vértices de alguna región son todos amarillos.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos distintos. El siguiente proceso infinito tiene lugar en un tablero inicialmente vacío. Si hay al menos un par de números iguales en el tablero, elegimos tal par e incrementamos uno de sus componentes por $a$ y el otro por $b$ . Si no existe tal par, escribimos dos veces el número $0$ . Demuestra que, sin importar cómo hagamos las elecciones en $(i)$ , la operación $(ii)$ se realizará solo un número finito de veces.

Sea $k$ un entero positivo. El comité organizador de un torneo de tenis debe programar los partidos para $2k$ jugadores de modo que cada dos jugadores jueguen una vez, cada día se juegue exactamente un partido, y cada jugador llegue al sitio del torneo el día de su primer partido, y se vaya el día de su último partido. Por cada día que un jugador está presente en el torneo, el comité tiene que pagar $1$ moneda al hotel. Los organizadores quieren diseñar el programa para minimizar el costo total de las estancias de todos los jugadores. Determina este costo mínimo.

Un triángulo anti-Pascal es un arreglo triangular equilátero de números tal que, excepto por los números en la fila inferior, cada número es el valor absoluto de la diferencia de los dos números inmediatamente debajo de él. Por ejemplo, el siguiente es un triángulo anti-Pascal con cuatro filas que contiene cada entero de $1$ a $10$ . \[\begin{array}{\nc@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{4pt}}c\vspace{4pt} & & & 4 & & & \\\vspace{4pt} & & 2 & & 6 & & \\\vspace{4pt} & 5 & & 7 & & 1 & \\\vspace{4pt} 8 & & 3 & & 10 & & 9 \\\vspace{4pt}\end{array}\] ¿Existe un triángulo anti-Pascal con $2018$ filas que contenga cada entero de $1$ a $1 + 2 + 3 + \dots + 2018$ ?