Sea $n$ un entero positivo dado. Sísifo realiza una secuencia de turnos en un tablero que consta de $n + 1$ casillas en una fila, numeradas de $0$ a $n$ de izquierda a derecha. Inicialmente, se colocan $n$ piedras en la casilla $0$ , y las otras casillas están vacías. En cada turno, Sísifo elige cualquier casilla no vacía, digamos con $k$ piedras, toma una de estas piedras y la mueve a la derecha a lo sumo $k$ casillas (la piedra debe permanecer dentro del tablero). El objetivo de Sísifo es mover las $n$ piedras a la casilla $n$ . Demuestra que Sísifo no puede alcanzar el objetivo en menos de \[ \left \lceil \frac{n}{1} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{3} \right \rceil + \dots + \left \lceil \frac{n}{n} \right \rceil \] turnos. (Como es usual, $\lceil x \rceil$ representa el menor entero no menor que $x$ . )

Un sitio es cualquier punto $(x, y)$ en el plano tal que $x$ e $y$ son ambos enteros positivos menores o iguales a 20. Inicialmente, cada uno de los 400 sitios está desocupado. Amy y Ben se turnan para colocar piedras, comenzando Amy. En su turno, Amy coloca una nueva piedra roja en un sitio desocupado tal que la distancia entre dos sitios ocupados por piedras rojas no sea igual a $\sqrt{5}$ . En su turno, Ben coloca una nueva piedra azul en cualquier sitio desocupado. (Se permite que un sitio ocupado por una piedra azul esté a cualquier distancia de cualquier otro sitio ocupado). Se detienen tan pronto como un jugador no puede colocar una piedra. Encuentra el mayor $K$ tal que Amy puede asegurarse de colocar al menos $K$ piedras rojas, sin importar cómo Ben coloque sus piedras azules.

Sea $n\geqslant 3$ un entero. Demostrar que existe un conjunto $S$ de $2n$ enteros positivos que satisfacen la siguiente propiedad: Para cada $m=2,3,...,n$ el conjunto $S$ se puede dividir en dos subconjuntos con sumas de elementos iguales, con uno de los subconjuntos de cardinalidad $m$.

Hallar el valor máximo de \[S = \sqrt[3]{\frac{a}{b+7}} + \sqrt[3]{\frac{b}{c+7}} + \sqrt[3]{\frac{c}{d+7}} + \sqrt[3]{\frac{d}{a+7}},\] donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son números reales no negativos que satisfacen $a+b+c+d = 100$.

Sean $m,n\geq 2$ enteros. Sea $f(x_1,\dots, x_n)$ un polinomio con coeficientes reales tal que $$f(x_1,\dots, x_n)=\left\lfloor \frac{x_1+\dots + x_n}{m} \right\rfloor\text{ para cada } x_1,\dots, x_n\in \{0,1,\dots, m-1\}.$$ Demostrar que el grado total de $f$ es al menos $n$.

Determinar todas las funciones $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ que satisfacen $$\left(x+\frac{1}{x}\right)f(y)=f(xy)+f\left(\frac{y}{x}\right)$$ para todo $x,y>0$.

Sea $a_0,a_1,a_2,\dots $ una secuencia de números reales tal que $a_0=0, a_1=1,$ y para cada $n\geq 2$ existe $1 \leq k \leq n$ satisfaciendo \[ a_n=\frac{a_{n-1}+\dots + a_{n-k}}{k}. \] Encuentra el valor máximo posible de $a_{2018}-a_{2017}$ .

Dado cualquier conjunto $S$ de enteros positivos, demuestre que al menos una de las siguientes dos afirmaciones es verdadera: (1) Existen subconjuntos finitos distintos $F$ y $G$ de $S$ tales que $\sum_{x\in F}1/x=\sum_{x\in G}1/x$ ; (2) Existe un número racional positivo $r<1$ tal que $\sum_{x\in F}1/x\neq r$ para todos los subconjuntos finitos $F$ de $S$ .

Encuentra todos los enteros $n \geq 3$ para los cuales existen números reales $a_1, a_2, \dots a_{n + 2}$ que satisfacen $a_{n + 1} = a_1$ , $a_{n + 2} = a_2$ y $$a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2},$$ para $i = 1, 2, \dots, n$ .

Sea $\mathbb{Q}_{>0}$ denota el conjunto de todos los números racionales positivos. Determine todas las funciones $f:\mathbb{Q}_{>0}\to \mathbb{Q}_{>0}$ que satisfacen $$f(x^2f(y)^2)=f(x)^2f(y)$$ para todo $x,y\in\mathbb{Q}_{>0}$