La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 2:05 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ \{a_k\}^{\infty}_1$ una sucesión de números reales no negativos tal que: \[ a_k - 2 a_{k + 1} + a_{k + 2} \geq 0 \] y $ \sum^k_{j = 1} a_j \leq 1$ para todo $ k = 1,2, \ldots$ . Demuestre que: \[ 0 \leq a_{k} - a_{k + 1} < \frac {2}{k^2} \] para todo $ k = 1,2, \ldots$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 9:20 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ u_1, u_2, \ldots, u_m$ $ m$ vectores en el plano, cada uno de longitud $ \leq 1,$ con suma cero. Demuestre que se pueden ordenar $ u_1, u_2, \ldots, u_m$ como una sucesión $ v_1, v_2, \ldots, v_m$ tal que cada suma parcial $ v_1, v_1 + v_2, v_1 + v_2 + v_3, \ldots, v_1, v_2, \ldots, v_m$ tenga una longitud menor o igual a $ \sqrt {5}.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:34 PM • 1 Y Y por Adventure10 En un grupo de $n$ personas, cada una conoce exactamente a otras tres. Están sentadas alrededor de una mesa. Decimos que la disposición es $perfecta$ si todos conocen a los dos que están sentados a sus lados. Demuestre que, si existe una disposición perfecta $S$ para el grupo, entonces siempre existe otra disposición perfecta que no puede obtenerse a partir de $S$ mediante rotación o reflexión. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 2:22 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 La sucesión $\{a_n\}$ de enteros está definida por \[ a_1 = 2, a_2 = 7 \] y \[ - \frac {1}{2} < a_{n + 1} - \frac {a^2_n}{a_{n - 1}} \leq \frac {1}{2}, n \geq 2. \] Demuestre que $a_n$ es impar para todo $n > 1.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 1:56 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ Q$ el centro del círculo inscrito de un triángulo $ ABC.$ Demuestre que para cualquier punto $ P,$ \[ a(PA)^2 + b(PB)^2 + c(PC)^2 = a(QA)^2 + b(QB)^2 + c(QC)^2 + (a + b + c)(QP)^2, \] donde $ a = BC, b = CA$ y $ c = AB.$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 12 de sep. de 2008, 6:58 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:30 PM • 1 Y Y por Adventure10 La sucesión de Fibonacci está definida por \[ a_{n+1} = a_n + a_{n-1}, n \geq 1, a_0 = 0, a_1 = a_2 = 1. \] Encuentre el máximo común divisor de los términos 1960-ésimo y 1988-ésimo de la sucesión de Fibonacci. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:12 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para un polígono convexo $P$ en el plano, sea $P'$ el polígono convexo con vértices en los puntos medios de los lados de $P.$ Dado un entero $n \geq 3,$ determine cotas precisas para la razón \[ \frac{\text{área } P'}{\text{área } P}, \] sobre todos los $n$-ágonos convexos $P.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:31 PM • 1 Y Y por Adventure10 Sea $C$ un cubo con aristas de longitud 2. Construya un sólido con catorce caras cortando las ocho esquinas de $C,$ manteniendo las nuevas caras perpendiculares a las diagonales del cubo y manteniendo las caras recién formadas idénticas. Si al concluir este proceso las catorce caras tienen la misma área, encuentre el área de cada cara del nuevo sólido. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de noviembre de 2005, 1:57 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $ABC$ es un triángulo, con inradio $r$ y circunradio $R.$ Demuestre que: \[ \sin \left( \frac{A}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{B}{2} \right) + \sin \left( \frac{B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{C}{2} \right) + \sin \left( \frac{C}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A}{2} \right) \leq \frac{5}{8} + \frac{r}{4 \cdot R}. \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:14 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En el espacio tridimensional se da un punto $O$ y un conjunto finito $A$ de segmentos con una suma de longitudes igual a $1988$. Demuestre que existe un plano disjunto de $A$ tal que la distancia desde él hasta $O$ no excede $574$. Z K Y