Sea $(a_i)_{i\in \mathbb{N}}$ una secuencia de enteros positivos, tal que para cualquier subconjunto finito no vacío $S$ de $\mathbb{N}$ , el entero $$\Pi_{k\in S} a_k -1$$ es primo. Demuestre que el número de $a_i$ 's con $i\in \mathbb{N}$ tales que $a_i$ tiene menos de $m$ factores primos distintos es finito.

Sea $(a_i)_{i\in \mathbb{N}}$ una secuencia con $a_1=\frac{3}2$ tal que $$a_{n+1}=1+\frac{n}{a_n}$$ Encuentre $n$ tal que $2020\le a_n <2021$

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ una secuencia finita de enteros no negativos, sus subsecuencias son las secuencias de la forma $a_i,a_{i+1},\ldots,a_j$ con $1\le i\le j \le n$. Se dice que dos subsecuencias son iguales si tienen la misma longitud y tienen los mismos términos, es decir, dos subsecuencias $a_i,a_{i+1},\ldots,a_j$ y $a_u,a_{u+1},\ldots a_v$ son iguales si y solo si $j-i=u-v$ y $a_{i+k}=a_{u+k}$ para todo entero $k$ tal que $0\le k\le j-1$. Finalmente, decimos que una subsecuencia $a_i,a_{i+1},\ldots,a_j$ es palindrómica si $a_{i+k}=a_{j-k}$ para todo entero $k$ tal que $0\le k \le j-i$ ¿Cuál es el mayor número de subsecuencias palindrómicas diferentes que puede contener una secuencia palindrómica de longitud $n$?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB$, Sea $DEF$ el triángulo de contacto con $D \in (BC)$, $E \in (AC)$, $F \in (AB)$, sea $G$ la intersección de la perpendicular de $D$ a $EF$ con $AB$, y $X=(ABC)\cap (AEF)$. Demuestre que $B,D,G$ y $X$ son concíclicos.

Encuentre todos los enteros $x, y$ y $z$ mayores o iguales a $0$ tales que $2^x + 9 \cdot 7^y = z^3$

Sea $n$ un entero mayor o igual a $1$ . Encuentre, en función de $n$ , el entero más pequeño $k\ge 2$ tal que, entre cualesquiera $k$ números reales, necesariamente hay dos de los cuales la diferencia, en valor absoluto, es estrictamente menor que $1 / n$ , o estrictamente mayor que $n$ .

El emperador Zorg desea fundar una colonia en un nuevo planeta. Cada una de las $n$ ciudades que establecerá allí tendrá que hablar exactamente uno de los $2020$ idiomas oficiales del Imperio. Algunas ciudades de la colonia estarán conectadas por un enlace aéreo directo, cada enlace se puede tomar en ambas direcciones. El emperador fijó el costo del boleto para cada conexión en $1$ crédito galáctico. Desea que, dadas dos ciudades que hablen el mismo idioma, siempre sea posible viajar de una a otra a través de estos enlaces aéreos, y que el viaje más barato entre estas dos ciudades cueste exactamente $2020$ créditos galácticos. ¿Para qué valores de $n$ puede el emperador Zorg cumplir su sueño?

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB <AC$ , $\omega$ su círculo inscrito y $\Gamma$ su círculo circunscrito. Sea también $\omega_b$ el excírculo relativo al vértice $B$ , entonces $B'$ es el punto de tangencia entre $\omega_b$ y $(AC)$ . Similarmente, sea el círculo $\omega_c$ el excírculo exinscrito relativo al vértice $C$ , entonces $C'$ es el punto de tangencia entre $\omega_c$ y $(AB)$ . Finalmente, sea $I$ el centro de $\omega$ y $X$ el punto de $\Gamma$ tal que $\angle XAI$ es un ángulo recto. Demuestre que los triángulos $XBC'$ y $XCB'$ son congruentes.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con círculo $\Gamma$ . Sean $P,Q,R,S$ puntos distintos en el lado $BC$ , en ese orden, tal que $\angle BAP = \angle CAS$ y $\angle BAQ = \angle CAR$ . Sean $U, V, W, Z$ las intersecciones, distintas de $A$ , de $AP, AQ, AR$ y $AS$ con $\Gamma$ , respectivamente. Sean $X = UQ \cap SW$ , $Y = PV \cap ZR$ , $T = UR \cap VS$ y $K = PW \cap ZQ$ . Suponga que los puntos $M$ y $N$ están bien determinados, tal que $M = KX \cap TY$ y $N = TX \cap KY$ . Demuestre que $M, N, A$ son colineales.

Dado un entero $n \geq 3$ , determine si existen $n$ enteros $b_1, b_2, \dots , b_n$ , distintos dos a dos (es decir, $b_i \neq b_j$ para todo $i \neq j$ ) y un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros, tal que $P(b_1) = b_2, P(b_2) = b_3, \dots , P(b_{n-1}) = b_n$ y $P(b_n) = b_1$ .