La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 2:28 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un número de señales luminosas están igualmente espaciadas a lo largo de una vía férrea de sentido único, etiquetadas en orden $ 1,2, \ldots, N, N \geq 2.$ Como regla de seguridad, a un tren no se le permite pasar una señal si cualquier otro tren está en movimiento en el tramo de vía entre esta y la siguiente señal. Sin embargo, no hay límite para el número de trenes que pueden estar estacionados sin movimiento en una señal, uno detrás del otro. (Suponga que los trenes tienen longitud cero). Una serie de $ K$ trenes de carga deben ser conducidos desde la Señal 1 hasta la Señal $ N.$ Cada tren viaja a una velocidad distinta pero constante en todo momento cuando no está bloqueado por la regla de seguridad. Demuestre que, independientemente del orden en que estén dispuestos los trenes, transcurrirá el mismo tiempo entre la salida del primer tren de la Señal 1 y la llegada del último tren a la Señal $ N.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 9:16 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Si $a_0$ es un número real positivo, considere la sucesión $\{a_n\}$ definida por: \[ a_{n+1} = \frac{a^2_n - 1}{n+1}, n \geq 0. \] Demuestre que existe un número real $a > 0$ tal que: i.) para todo $a_0 \geq a,$ la sucesión $\{a_n\} \rightarrow \infty,$ ii.) para todo $a_0 < a,$ la sucesión $\{a_n\} \rightarrow 0.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de octubre de 2005, 9:21 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que no existen más de $27$ semirrectas (o rayos) que emanen del origen en el espacio tridimensional, tales que el ángulo entre cada par de rayos sea $\geq \frac{\pi}{4}$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 2:12 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un entero positivo se denomina número doble si su representación decimal consiste en un bloque de dígitos, que no comienza con 0, seguido inmediatamente por un bloque idéntico. Así, por ejemplo, 360360 es un número doble, pero 36036 no lo es. Demuestre que existen infinitos números doble que son cuadrados perfectos. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 13 de sep. de 2008, 8:33 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 2:19 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se propone particionar un conjunto de enteros positivos en dos subconjuntos disjuntos $ A$ y $ B$ sujetos a las condiciones: i.) 1 está en $ A$; ii.) no existen dos elementos distintos de $ A$ cuya suma sea de la forma $ 2^k + 2, k = 0,1,2, \ldots$; y iii.) no existen dos elementos distintos de $ B$ cuya suma sea de esa forma. Demuestre que esta partición puede realizarse de manera única y determine a qué subconjuntos pertenecen 1987, 1988 y 1989. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 12 de sep. de 2008, 6:53 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 2:31 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se elige un punto $ M$ en el lado $ AC$ del triángulo $ ABC$ de tal manera que los radios de los círculos inscritos en los triángulos $ ABM$ y $ BMC$ son iguales. Demuestre que \[ BM^{2} = X \cot \left( \frac {B}{2}\right) \] donde X es el área del triángulo $ ABC.$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 12 de sep. de 2008, 6:54 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 9:16 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario Sea $ a$ la mayor raíz positiva de la ecuación $ x^3 - 3 \cdot x^2 + 1 = 0.$ Demuestre que $ \left[a^{1788} \right]$ y $ \left[a^{1988} \right]$ son ambos divisibles por 17. Aquí $ [x]$ denota la parte entera de $ x.$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 12 de sep. de 2008, 6:00 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:24 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El círculo $x^2+ y^2 = r^2$ corta a los ejes coordenados en $A = (r,0), B = (-r,0), C = (0,r)$ y $D = (0,-r).$ Sean $P = (u,v)$ y $Q = (-u,v)$ dos puntos en la circunferencia del círculo. Sea $N$ el punto de intersección de $PQ$ y el eje $y$, y sea $M$ el pie de la perpendicular trazada desde $P$ al eje $x$. Si $r^2$ es impar, $u = p^m > q^n = v,$ donde $p$ y $q$ son números primos y $m$ y $n$ son números naturales, demuestre que \[ |AM| = 1, |BM| = 9, |DN| = 8, |PQ| = 8. \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. swynca 19 publicaciones swynca #1 h 27 de abril de 2025, 8:03 a. m. • 4 Y Y por dangerousliri, megarnie, farhad.fritl, Rounak_iitr Un entero $n > 1$ se llama $\emph{bueno}$ si existe una permutación $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ de los números $1, 2, 3, \dots, n$, tal que: $(i)$ $a_i$ y $a_{i+1}$ tienen paridades diferentes para todo $1 \leq i \leq n-1$; $(ii)$ la suma $a_1 + a_2 + \cdots + a_k$ es un residuo cuadrático módulo $n$ para todo $1 \leq k \leq n$. Demuestre que existen infinitos números buenos, así como infinitos enteros positivos que no son buenos. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por swynca, 27 de abril de 2025, 10:15 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Armo 373 publicaciones Armo #1 h 12 de ene. de 2005, 10:33 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario. Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $ L$ cualquier recta en el plano del triángulo $ ABC$ . Denotemos por $ u$ , $ v$ , $ w$ las longitudes de las perpendiculares a $ L$ desde $ A$ , $ B$ , $ C$ respectivamente. Demuestre la desigualdad $ u^2\cdot\tan A + v^2\cdot\tan B + w^2\cdot\tan C\geq 2\cdot S$ , donde $ S$ es el área del triángulo $ ABC$ . Determine las rectas $ L$ para las cuales se cumple la igualdad. Z K Y