En un montón hay $2021$ piedras. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan removiendo piedras del montón, alternadamente comenzando con $A$ . Un movimiento válido para $A$ consiste en remover $1, 2$ o $7$ piedras. Un movimiento válido para B es remover $1, 3, 4$ o $6$ piedras. El jugador que deja el montón vacío después de hacer un movimiento válido gana. Determine si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora. Si tal estrategia existe, explíquela.

En un club de tenis, cada miembro tiene exactamente $k > 0$ amigos, y se organiza un torneo en rondas de tal manera que cada par de amigos se enfrenta exactamente una vez. Las rondas se juegan en partidos simultáneos, eligiendo parejas hasta que no se pueda elegir más (es decir, entre las personas no elegidas, no hay un par de amigos que tenga su partido pendiente). Determine el número máximo de rondas que puede tener el torneo, dependiendo de $k$ .

Sea $ABC$ un triángulo e $I$ su incentro. Las líneas $BI$ y $CI$ intersecan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $M$ y $N$ , respectivamente. Sean $C_1$ y $C_2$ las circunferencias de diámetros $NI$ e $MI$ , respectivamente. El círculo $C_1$ interseca a $AB$ en $P$ y $Q$ , y el círculo $C_2$ interseca a $AC$ en $R$ y $S$ . Demuestre que $P$ , $Q$ , $R$ y $S$ son concíclicos.

Decimos que un entero positivo es guarani si la suma del número con su inverso es un número que solo tiene dígitos impares. Por ejemplo, $249$ y $30$ son guarani, ya que $249 + 942 = 1191$ y $30 + 03 = 33$ . a) ¿Cuántos números de $2021$ dígitos son guarani? b) ¿Cuántos números de $2023$ dígitos son guarani?

Para un entero positivo $n$, la ecuación $a^2 + b^2 + c^2 + n = abc$ se da en los enteros positivos. Demostrar que:\n1. No existe una solución $(a, b, c)$ para $n = 2017$.\n2. Para $n = 2016$, $a$ es divisible por $3$ para todas las soluciones $(a, b, c)$.\n3. Hay infinitas soluciones $(a, b, c)$ para $n = 2016$.

Un entero positivo $n$ es Mozart si la representación decimal de la secuencia $1, 2, \ldots, n$ contiene cada dígito un número par de veces. Demostrar que:\n1. Todos los números Mozart son pares.\n2. Hay infinitos números Mozart.

Sea $ABC$ un triángulo para el cual $AB \neq AC$. Los puntos $K$, $L$, $M$ son los puntos medios de los lados $BC$, $CA$, $AB$. La circunferencia inscrita de $ABC$ con centro $I$ es tangente a $BC$ en $D$. Una línea que pasa por el punto medio de $ID$ perpendicular a $IK$ se encuentra con la línea $LM$ en $P$. Demostrar que $\angle PIA = 90 ^{\circ}$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo para el cual $AB \neq AC$, y sea $O$ su circuncentro. La línea $AO$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $D$, y la línea $BC$ en $E$. La circunferencia circunscrita de $CDE$ se encuentra con la línea $CA$ nuevamente en $P$. Las líneas $PE$ y $AB$ se intersecan en $Q$. La línea que pasa por $O$ paralela a la línea $PE$ se interseca con la $A$ - altura de $ABC$ en $F$. Demostrar que $FP = FQ$.

Un examen fue tomado por algunos estudiantes. Cada problema valía $1$ punto por la respuesta correcta y $0$ puntos por una incorrecta. Para cada pregunta, al menos un estudiante la respondió correctamente. Además, hay dos estudiantes con diferentes puntajes en el examen. Demostrar que existe una pregunta para la cual se cumple lo siguiente: El puntaje promedio de los estudiantes que respondieron la pregunta correctamente es mayor que el puntaje promedio de los estudiantes que no lo hicieron.

Se da un tablero de $8 \times 8$, con lados dirigidos de norte a sur y de este a oeste. Se divide en celdas de $1 \times 1$ de la manera habitual. En cada celda, hay como máximo una casa. Una casa ocupa solo una celda. Una casa está en la sombra si hay una casa en cada una de las celdas en los lados sur, este y oeste de su celda. En particular, ninguna casa ubicada en el lado sur, este u oeste del tablero está en la sombra. Hallar el número máximo de casas que se pueden colocar en el tablero de modo que ninguna casa esté en la sombra.