La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de noviembre de 2005, 2:39 PM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario. Asociamos conjuntos $ M$ de puntos en el plano coordenado con conjuntos $ M*$ de acuerdo con la regla de que $ (x*,y*) \in M*$ si y solo si $ x \cdot x* + y \cdot y* \leq 1$ para todo $ (x,y) \in M.$ Encuentre todos los triángulos $ Q$ tales que $ Q*$ sea la reflexión de $ Q$ respecto al origen. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de noviembre de 2005, 2:41 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 ¿Existe un número $\alpha, 0 < \alpha < 1$ tal que exista una sucesión infinita $\{a_n\}$ de números positivos que satisfaga \[ 1 + a_{n+1} \leq a_n + \frac{\alpha}{n} \cdot a_n, n = 1,2, \ldots? \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:02 a. m. • 4 Y Y por Adventure10, Mango247, Mango247, Mango247 Sea $T$ un triángulo con círculo inscrito $C.$ Un cuadrado con lados de longitud $a$ está circunscrito alrededor del mismo círculo $C.$ Demuestre que la longitud total de las partes de los lados del cuadrado interiores al triángulo $T$ es al menos $2 \cdot a.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. egxa 219 publicaciones egxa #1 h 27 de abril de 2025, 7:57 a. m. • 3 Y Y por Miquel-point, PikaPika999, Mysteriouxxx Hay $n$ ciudades en un país, donde $n \geq 100$ es un entero. Algunos pares de ciudades están conectados por vuelos directos (de doble sentido). Para dos ciudades $A$ y $B$ definimos: $(i)$ Un $\emph{camino}$ entre $A$ y $B$ como una sucesión de ciudades distintas $A = C_0, C_1, \dots, C_k, C_{k+1} = B$, $k \geq 0$, tal que existen vuelos directos entre $C_i$ y $C_{i+1}$ para todo $0 \leq i \leq k$; $(ii)$ Un $\emph{camino largo}$ entre $A$ y $B$ como un camino entre $A$ y $B$ tal que ningún otro camino entre $A$ y $B$ tiene más ciudades; $(iii)$ Un $\emph{camino corto}$ entre $A$ y $B$ como un camino entre $A$ y $B$ tal que ningún otro camino entre $A$ y $B$ tiene menos ciudades. Suponga que para cualquier par de ciudades $A$ y $B$ en el país, existen un camino largo y un camino corto entre ellas que no tienen ciudades en común (excepto $A$ y $B$). Sea $F$ el número total de pares de ciudades en el país que están conectados por vuelos directos. En términos de $n$, encuentre todos los valores posibles de $F$. Propuesto por David-Andrei Anghel, Rumania. Esta publicación ha sido editada 6 veces. Última edición por egxa, 27 de abril de 2025, 4:59 p. m. Z K Y

En una fila escrita en orden creciente, se encuentran todos los números racionales positivos irreducibles tales que el producto del numerador y el denominador es menor que 1988. Demuestre que cualesquiera dos fracciones adyacentes $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d},$ con $\frac{a}{b} < \frac{c}{d},$ satisfacen la ecuación $b \cdot c - a \cdot d = 1.$

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de noviembre de 2005, 2:38 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se dan siete círculos. Es decir, hay seis círculos dentro de un círculo fijo, cada uno tangente al círculo fijo y tangente a los otros dos círculos menores adyacentes. Si los puntos de contacto entre los seis círculos y el círculo mayor son, en orden, $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ y $A_6$, demuestre que \[ A_1 A_2 \cdot A_3 A_4 \cdot A_5 A_6 = A_2 A_3 \cdot A_4 A_5 \cdot A_6 A_1. \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Batsuh 152 publicaciones Batsuh #1 h 19 de mayo de 2024, 3:38 a. m. • 1 Y Y por mxsail El incírculo del triángulo $ABC$ tiene radio $4$. Sean $K,L$ los pies de las alturas desde el vértice $C$ y las bisectrices de los ángulos externos de $\angle A$ y $\angle B$, respectivamente. Si $KL = 21$ y $7 \cdot \tan{\frac{\angle A}{2}} \cdot \tan{\frac{\angle B}{2}} = 2$. Encuentre los lados de $ABC$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:27 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre una condición necesaria y suficiente sobre el número natural $ n$ para que la ecuación \[ x^n + (2 + x)^n + (2 - x)^n = 0 \] tenga una raíz entera. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 2:07 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 i.) Sea $ABC$ un triángulo con $AB = 12$ y $AC = 16.$ Suponga que $M$ es el punto medio del lado $BC$ y que los puntos $E$ y $F$ se eligen en los lados $AC$ y $AB$, respectivamente, y suponga que las rectas $EF$ y $AM$ se intersecan en $G.$ Si $AE = 2 \cdot AF$, entonces encuentre la razón \[ \frac{EG}{GF} \] ii.) Sea $E$ un punto externo a un círculo y suponga que dos cuerdas $EAB$ y $EDC$ se encuentran en un ángulo de $40^{\circ}.$ Si $AB = BC = CD$, encuentre la medida del ángulo $ACD.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 2:31 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se elige un punto $ M$ en el lado $ AC$ del triángulo $ ABC$ de tal manera que los radios de los círculos inscritos en los triángulos $ ABM$ y $ BMC$ son iguales. Demuestre que \[ BM^{2} = X \cot \left( \frac {B}{2}\right) \] donde X es el área del triángulo $ ABC.$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 12 de sep. de 2008, 6:54 p. m. Z K Y