Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los reales. Hallar todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$ f(x)f(y) = xf(f(y-x)) + xf(2x) + f(x^2) $$ para todo real $x, y$ .

Hallar todas las ternas $(a, b, c)$ de números reales tales que $$ a^2 + ab + c = 0, $$ $$b^2 + bc + a = 0, $$ $$c^2 + ca + b = 0.$$

Hallar todas las funciones $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ tales que $f(a) + f(b)$ divide a $2(a + b - 1)$ para todo $a, b \in \mathbb{N}$. \nObservación: $\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, \ldots \} $ denota el conjunto de los enteros positivos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $\angle BAC > 45^{\circ}$ con circuncentro $O$. Se elige un punto $P$ dentro del triángulo $ABC$ tal que $A, P, O, B$ son concíclicos y la línea $BP$ es perpendicular a la línea $CP$. Un punto $Q$ se encuentra en el segmento $BP$ tal que la línea $AQ$ es paralela a la línea $PO$. Demostrar que $\angle QCB = \angle PCO$.

Hay $n \ge 3$ enteros positivos escritos en una pizarra. Un movimiento consiste en elegir tres números $a, b, c$ escritos en la pizarra tales que exista un triángulo no degenerado no equilátero con lados $a, b, c$ y reemplazar esos números con $a + b - c, b + c - a$ y $c + a - b$. Demostrar que una secuencia de movimientos no puede ser infinita.

Sea $n \ge 2$ un entero, y sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales para los cuales: \n(a) $x_j > -1$ para $j = 1, 2, \ldots, n$ y \n(b) $x_1 + x_2 + \ldots + x_n = n.$\nDemostrar que $$ \sum_{j = 1}^{n} \frac{1}{1 + x_j} \ge \sum_{j = 1}^{n} \frac{x_j}{1 + x_j^2} $$ y determinar cuándo ocurre la igualdad.

Demuestre que para cada número natural $k$ ( $k \geq 2$ ) existe un número irracional $r$ tal que para cada número natural $m$ , \[[r^m] \equiv -1 \pmod k .\] Observación. Una variante más sencilla: Encuentre $r$ como una raíz de un polinomio de segundo grado con coeficientes enteros.

¿Existe una función $f : \mathbb N \to \mathbb N$ , tal que $f(f(n)) =n + 1987$ para cada número natural $n$?

En un triángulo acutángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ se encuentra con $BC$ en $L$ y se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $N$. Desde $L$ se dibujan perpendiculares a $AB$ y $AC$, con pies $K$ y $M$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen áreas iguales.

Sea $n\ge2$ un entero. Demuestra que si $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le\sqrt{n\over3}$, entonces $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le n-2$.