Sean $\alpha,\beta,\gamma$ números reales positivos tales que $\alpha+\beta+\gamma < \pi$, $\alpha+\beta > \gamma$, $\beta+\gamma > \alpha$, $\gamma + \alpha > \beta.$ Demuestra que con los segmentos de longitudes $\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma$ podemos construir un triángulo y que su área no es mayor que \[A=\dfrac 18\left( \sin 2\alpha+\sin 2\beta+ \sin 2\gamma \right).\]

Para cualquier entero $r \geq 1$, determina el entero más pequeño $h(r) \geq 1$ tal que para cualquier partición del conjunto $\{1, 2, \cdots, h(r)\}$ en $r$ clases, existen enteros $a \geq 0 \; 1 \leq x \leq y$, tales que $a + x, a + y, a + x + y$ pertenecen a la misma clase.

Demuestra que existe una coloración con cuatro colores del conjunto $M = \{1, 2, \cdots, 1987\}$ tal que cualquier progresión aritmética con $10$ términos en el conjunto $M$ no es monocromática. Formulación alternativa Sea $M = \{1, 2, \cdots, 1987\}$. Demuestra que existe una función $f : M \to \{1, 2, 3, 4\}$ que no es constante en cada conjunto de $10$ términos de $M$ que forman una progresión aritmética.

Sea $p_n(k)$ el número de permutaciones del conjunto $\{1,2,3,\ldots,n\}$ que tienen exactamente $k$ puntos fijos. Demuestra que $\sum_{k=0}^nk p_n(k)=n!$.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales que satisfacen $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$ . Demostrar que para todo entero $k\ge2$ existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , no todos cero, tales que $|a_i|\le k-1$ para todo $i$ , y $|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\le{(k-1)\sqrt n\over k^n-1}$ .

¿Cuántas palabras con $n$ dígitos se pueden formar a partir del alfabeto $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ , si los dígitos vecinos deben diferir exactamente en uno?

¿Es posible colocar $1987$ puntos en el plano euclidiano de tal manera que la distancia entre cada par de puntos sea irracional y cada tres puntos determinen un triángulo no degenerado con área racional?

Dado un triángulo no equilátero $ABC$ , con los vértices listados en sentido antihorario, encontrar el lugar geométrico de los centroides de los triángulos equiláteros $A'B'C'$ (con los vértices listados en sentido antihorario) para los cuales las ternas de puntos $A,B', C'; A',B, C';$ y $A',B', C$ son colineales.

Hallar el número de particiones del conjunto $\{1, 2, \cdots, n\}$ en tres subconjuntos $A_1,A_2,A_3$ , algunos de los cuales pueden estar vacíos, tales que se cumplan las siguientes condiciones: $(i)$ Después de que los elementos de cada subconjunto se hayan colocado en orden ascendente, cada dos elementos consecutivos de cualquier subconjunto tienen diferente paridad. $(ii)$ Si $A_1,A_2,A_3$ son todos no vacíos, entonces en exactamente uno de ellos el número mínimo es par.

Sean $S_1$ y $S_2$ dos esferas con radios distintos que se tocan externamente. Las esferas se encuentran dentro de un cono $C$ , y cada esfera toca el cono en un círculo completo. Dentro del cono hay $n$ esferas sólidas adicionales dispuestas en un anillo de tal manera que cada esfera sólida toca el cono $C$ , ambas esferas $S_1$ y $S_2$ externamente, así como las dos esferas sólidas vecinas. ¿Cuáles son los posibles valores de $n$ ?