¿Existe un conjunto $M$ en el espacio euclidiano usual tal que para cada plano $\lambda$ la intersección $M \cap \lambda$ es finita y no vacía?

(a) Sea $\gcd(m, k) = 1$ . Demostrar que existen enteros $a_1, a_2, . . . , a_m$ y $b_1, b_2, . . . , b_k$ tales que cada producto $a_ib_j$ ( $i = 1, 2, \cdots ,m; \ j = 1, 2, \cdots, k$ ) da un residuo diferente cuando se divide por $mk.$\n(b) Sea $\gcd(m, k) > 1$ . Demostrar que para cualquier entero $a_1, a_2, . . . , a_m$ y $b_1, b_2, . . . , b_k$ debe haber dos productos $a_ib_j$ y $a_sb_t$ ( $(i, j) \neq (s, t)$ ) que dan el mismo residuo cuando se divide por $mk.$

Dados cinco números reales $u_0, u_1, u_2, u_3, u_4$ , demostrar que siempre es posible encontrar cinco números reales $v0, v_1, v_2, v_3, v_4$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n$(i)$ $u_i-v_i \in \mathbb N, \quad 0 \leq i \leq 4$\n$(ii)$ $\sum_{0 \leq i<j \leq 4} (v_i - v_j)^2 < 4.$

Demostrar que si $a, b, c$ son las longitudes de los lados de un triángulo y si $2S = a + b + c$ , entonces \[\frac{a^n}{b+c} + \frac{b^n}{c+a} +\frac{c^n}{a+b} \geq \left(\dfrac 23 \right)^{n-2}S^{n-1} \quad \forall n \in \mathbb N \]

Encuentra, con prueba, el punto $P$ en el interior de un triángulo acutángulo $ABC$ para el cual $BL^2+CM^2+AN^2$ es un mínimo, donde $L,M,N$ son los pies de las perpendiculares desde $P$ a $BC,CA,AB$ respectivamente.

Sea $ABCDEFGH$ un paralelepípedo con $AE \parallel BF \parallel CG \parallel DH$ . Demuestra la desigualdad \[AF + AH + AC \leq AB + AD + AE + AG.\] ¿En qué casos se cumple la igualdad?

¿Existe un polinomio de segundo grado $p(x, y)$ en dos variables tal que todo entero no negativo $ n $ es igual a $p(k,m)$ para un y solo un par ordenado $(k,m)$ de enteros no negativos?

En una fiesta a la que asisten $n$ parejas casadas, cada persona habla con todos los demás en la fiesta, excepto con su cónyuge. Las conversaciones involucran conjuntos de personas o camarillas $C_1, C_2, \cdots, C_k$ con la siguiente propiedad: ninguna pareja son miembros de la misma camarilla, pero para cada otro par de personas hay exactamente una camarilla a la que ambos miembros pertenecen. Demuestra que si $n \geq 4$ , entonces $k \geq 2n$ .

Sea f una función que satisface las siguientes condiciones: $(i)$ Si $x > y$ y $f(y) - y \geq v \geq f(x) - x$ , entonces $f(z) = v + z$ , para algún número $z$ entre $x$ e $y$ . $(ii)$ La ecuación $f(x) = 0$ tiene al menos una solución, y entre las soluciones de esta ecuación, hay una que no es más pequeña que todas las demás soluciones; $(iii)$ $f(0) = 1$ . $(iv)$ $f(1987) \leq 1988$ . $(v)$ $f(x)f(y) = f(xf(y) + yf(x) - xy)$ . Encuentra $f(1987)$ .

Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2=1$. Demuestre la siguiente desigualdad \[ \sum \frac{a}{a^3+bc} >3 . \]